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定义4：在平面直角坐标系中,二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线.
1.a、b、c不都是零.
2.b^2 - 4ac > 0.
3.a^2+b^2=c^2
在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形.这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于x,y轴对称.
2 标准方程编辑本段
1,焦点在X轴上时为：
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
2,焦点在Y 轴上时为：
y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
3 主要特点编辑本段
3.1 1、轨迹上一点的取值范围：
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）.
3.2 2、对称性：
关于坐标轴和原点对称.
3.3 3、顶点：
A(-a,0),A'(a,0）.同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b）,B'(0,b）.同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2
3.4 4、渐近线：
焦点在x轴：y=±（b/a)x.
焦点在y轴：y=±（a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角.
令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e)
令θ=0,得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e）
令θ=PI,得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e）
这两个x是双曲线定点的横坐标.
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]
则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]
代入上式：
ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点,则
y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a)
因为x^2-a^20)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2
= （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c1；
在双曲线的线上称为双曲线上,则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；
在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x^2/a^2-y^2/b^2
定义4：在平面直角坐标系中,二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线.
1.a、b、c不都是零.
2.b^2 - 4ac > 0.
3.a^2+b^2=c^2
在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形.这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于x,y轴对称.
2 标准方程编辑本段
1,焦点在X轴上时为：
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
2,焦点在Y 轴上时为：
y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
3 主要特点编辑本段
3.1 1、轨迹上一点的取值范围：
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）.
3.2 2、对称性：
关于坐标轴和原点对称.
3.3 3、顶点：
A(-a,0),A'(a,0）.同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b）,B'(0,b）.同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2
3.4 4、渐近线：
焦点在x轴：y=±（b/a)x.
焦点在y轴：y=±（a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角.
令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e)
令θ=0,得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e）
令θ=PI,得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e）
这两个x是双曲线定点的横坐标.
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]
则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]
代入上式：
ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点,则
y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a)
因为x^2-a^20)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2
= （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c1；
在双曲线的线上称为双曲线上,则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；
在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x^2/a^2-y^2/b^2