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过双曲线上任一点分别作两条渐近线的平行线，证明：这两条与渐近线所围成的平行四边形的面积为定值．

2019-06-01

过双曲线上任一点分别作两条渐近线的平行线，证明：这两条与渐近线所围成的平行四边形的面积为定值．
优质解答
证明：设双曲线方程为：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），
渐近线方程为l1：y=
b
a
x，l2：y=-
b
a
x，
设点P（m，n），这两条平行线与渐近线所围成的平行四边形为PMON，
则直线PN：y=
b
a
x+n-
b
a
m，
直线PM：y=-
b
a
x+n+
b
a
m，
由直线l1和直线PM，解得交点M（
an+bm
2b
，
an+bm
2a
）．
平行线l1，PN之间的距离为
|n−
b
a
m|
1+
b2
a2
=
|an−bm|
c
，
则平行四边形的面积为
|an−bm|
c
•
(
an+bm
2b
)2+(
an+mb
2a
)2

=
|an−bm|
c
•
|acn+bcm|
2ab
=证明：设双曲线方程为：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a，b＞0），
渐近线方程为l1：y=
b
a
x，l2：y=-
b
a
x，
设点P（m，n），这两条平行线与渐近线所围成的平行四边形为PMON，
则直线PN：y=
b
a
x+n-
b
a
m，
直线PM：y=-
b
a
x+n+
b
a
m，
由直线l1和直线PM，解得交点M（
an+bm
2b
，
an+bm
2a
）．
平行线l1，PN之间的距离为
|n−
b
a
m|
1+
b2
a2
=
|an−bm|
c
，
则平行四边形的面积为
|an−bm|
c
•
(
an+bm
2b
)2+(
an+mb
2a
)2

=
|an−bm|
c
•
|acn+bcm|
2ab
= 相关标签： 分别平行线证明围成面积
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