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今有100个学生，其中只有1人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学过俄语的有9人。则3种语言都学过的有人。

2019-06-27

今有100个学生，其中只有1人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学过俄语的有9人。则3种语言都学过的有____人。
优质解答
1、用A、B、C分别表示学过英语、法语、俄语的同学的集合，则|A|=39，|B|=49，|C|=41，|AnnB|=14，|AnnC|=13，|BnnC|=9，|AuuBuuC|=100-1=99，要求|AnnBnnC|的值，由容斥原理可得
|AnnBnnC|=|AuuBuuC|+(|AnnB|+|BnnC|+|AnnC|)-(|A|+|B|+|C|)=99+(14+13+9)-(39+49+41)=6(人)
所以3种语言都学的有6人。
【点评】本题实际是考查容斥原理的应用，对于容斥原理，要了解它的实质，容斥原理的实质在于包含与排斥。
1、用A、B、C分别表示学过英语、法语、俄语的同学的集合，则|A|=39，|B|=49，|C|=41，|AnnB|=14，|AnnC|=13，|BnnC|=9，|AuuBuuC|=100-1=99，要求|AnnBnnC|的值，由容斥原理可得
|AnnBnnC|=|AuuBuuC|+(|AnnB|+|BnnC|+|AnnC|)-(|A|+|B|+|C|)=99+(14+13+9)-(39+49+41)=6(人)
所以3种语言都学的有6人。
【点评】本题实际是考查容斥原理的应用，对于容斥原理，要了解它的实质，容斥原理的实质在于包含与排斥。
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