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几何模型：条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．模型应用：（1）如图2，正方形是大家喜爱的一种轴对称图形，它的对角线所在的直线就是对称轴．现在有一个边长为2的正方形ABCD，E为AB的中点，P是AC上一动点． 请求出EP+PB的最小值．（2）如图3，∠AOC=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周

2019-05-27

几何模型：
条件：如图1，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连结A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图2，正方形是大家喜爱的一种轴对称图形，它的对角线所在的直线就是对称轴．现在有一个边长为2的正方形ABCD，E为AB的中点，P是AC上一动点． 请求出EP+PB的最小值．

（2）如图3，∠AOC=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
优质解答
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴点B、D关于AC对称，
∴连接DE与AC的交点即为所求点P，EP+PB的最小值=DE，
由勾股定理得，DE=
22+12
=
5
；

（2）作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2，
则△PQR周长的最小值=P1P2，
连接OP1、OP2，则OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
所以，OP1=OP2，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，
所以，△OP1P2是等腰直角三角形，
∵PO=10，
∴PO1=10，
∴P1P2=
2
PO1=10
2
，
即△PQR周长的最小值为10
2
． （1）∵四边形ABCD是正方形，
∴点B、D关于AC对称，
∴连接DE与AC的交点即为所求点P，EP+PB的最小值=DE，
由勾股定理得，DE=
22+12
=
5
；

（2）作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2，
则△PQR周长的最小值=P1P2，
连接OP1、OP2，则OP=OP1=OP2，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，
所以，OP1=OP2，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°，
所以，△OP1P2是等腰直角三角形，
∵PO=10，
∴PO1=10，
∴P1P2=
2
PO1=10
2
，
即△PQR周长的最小值为10
2
．
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