优质解答
2000年美国克雷数学促进研究所提出.为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题.每一道题的赏金均为百万美金.
1、 黎曼猜想.
见 二 的 3
透过此猜想,数学家认为可以解决素数分布之谜.
这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题.透过研究黎曼猜想数
学家们认为除了能解开质数分布之谜外,对於解析数论、函数理论、
椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响.
2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论,杨振宁由
数学开始,提出一个具有规范性的理论架构,后来逐渐发展成为量子
物理之重要理论,也使得他成为近代物理奠基的重要人物.
杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子,而他们
碰到的困难是这个粒子的质量的问题.他们从数学上所推导的结果
是,这个粒子具有电荷但没有质量.然而,困难的是如果这一有电荷
的粒子是没有质量的,那麼为什麼没有任何实验证据呢?而如果假定
该粒子有质量,规范对称性就会被破坏.一般物理学家是相信有质
量,因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题.
3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)
随著计算尺寸的增大,计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」.
P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母.已
知尺寸为n,如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下
就可以或不行时,我们就称之为「多项式时间决定法」.而能用这个
算法解的问题就是P 问题.反之若有其他因素,例如第六感参与进来
的算法就叫做「非决定性算法」,这类的问题就是「NP 问题」,NP 是
Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写.
由定义来说,P 问题是NP 问题的一部份.但是否NP 问题里面有
些不属於P 问题等级的东西呢?或者NP 问题终究也成为P 问题?这
就是相当著名的PNP 问题.
4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正,在修正的过程中产生了
新的结果.法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学
推导,将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程.
自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托
克方程的全时间弱解(global weak solution)之后,人们一直想知道
的是此解是否唯一?得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方
程的解是强解(strong solution),则解是唯一.所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大,有没有可能弱解会等於强解?换句话说,是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解?再者就是证
明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time).
解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献,特别是乱
流(turbulence)都会有决定性的影响,另外纳维尔–史托克方程与奥
地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系,研究纳维
尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两
者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit),由此可见纳
维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵.
5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)
庞加莱臆测是拓朴学的大问题.用数学界的行话来说：单连通的
三维闭流形与三维球面同胚.
从数学的意义上说这是一个看似简单却又非
常困难的问题,自庞加莱在西元1904 年提出之
后,吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题.
庞加莱（图4）臆测提出不久,数学们自然的将
之推广到高维空间(n4),我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的
≥
n(n4)维闭流形,如果与n
≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚.
经过近60 年后,西元1961 年,美国数学家斯麦尔（Smale）以
巧妙的方法,他忽略三维、四维的困难,直接证明五维(n5)以上的
≥
广义庞加莱臆测,他因此获得西元1966 年的费尔兹奖.经过20年之
后,另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆
测,并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖.但是对於我们真
正居住的三维空间(n3),在当时仍然是一个未解之谜.
=
一直到西元2003 年4 月,俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工学院做了三场演讲,在会中他回答了许多数学家的疑问,许
多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测.数天后「纽约时报」首
次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息.同
日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测
被证明了,这次是真的!」[14].
数学家们的审查将到2005年才能完成,到目前为止,尚未发现
斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞.
6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ,在计算椭圆之弧长时
就会遇见这种曲线.自50 年代以来,数学家便发现椭圆曲线与数论、
几何、密码学等有著密切的关系.例如：怀尔斯（Wiles）证明费马
最后定理,其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想,白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与
椭圆曲线有关.
60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些
多项式方程式的有理数解.通常会有无穷多解,然而要如何计算无限
呢?其解法是先分类,典型的数学方法是同余(congruence)这个观念
并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数,无穷
多个数不可能每个都要.数学家自然的选择了质数,所以这个问题与
黎曼猜想之Zeta 函数有关.经由长时间大量的计算与资料收集,他
们观察出一些规律与模式,因而提出这个猜测.他们从电脑计算之结
果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点,若且唯若附於曲线上面的
Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0,即ζ (1)
；当s1= 0
7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)
「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式,都是代数圆之
上同调类的有理组合.」
最后的这个难题,虽不是千禧七大难题中最困难的问题,但却可
能是最不容易被一般人所了解的.因为其中有太多高深专业而且抽象
2000年美国克雷数学促进研究所提出.为了纪念百年前希尔伯特提出的23问题.每一道题的赏金均为百万美金.
1、 黎曼猜想.
见 二 的 3
透过此猜想,数学家认为可以解决素数分布之谜.
这个问题是希尔伯特23个问题中还没有解决的问题.透过研究黎曼猜想数
学家们认为除了能解开质数分布之谜外,对於解析数论、函数理论、
椭圆函数论、群论、质数检验等都将会有实质的影响.
2、杨-密尔斯理论与质量漏洞猜想(Yang-Mills Theory and Mass Gap
Hypothesis)
西元1954 年杨振宁与密尔斯提出杨-密尔斯规范理论,杨振宁由
数学开始,提出一个具有规范性的理论架构,后来逐渐发展成为量子
物理之重要理论,也使得他成为近代物理奠基的重要人物.
杨振宁与密尔斯提出的理论中会产生传送作用力的粒子,而他们
碰到的困难是这个粒子的质量的问题.他们从数学上所推导的结果
是,这个粒子具有电荷但没有质量.然而,困难的是如果这一有电荷
的粒子是没有质量的,那麼为什麼没有任何实验证据呢?而如果假定
该粒子有质量,规范对称性就会被破坏.一般物理学家是相信有质
量,因此如何填补这个漏洞就是相当具挑战性的数学问题.
3、P 问题对NP 问题(The P Versus NP Problems)
随著计算尺寸的增大,计算时间会以多项式方式增加的型式的问题叫做「P 问题」.
P 问题的P 是Polynomial Time(多项式时间)的头一个字母.已
知尺寸为n,如果能决定计算时间在cnd (c 、d 为正实数) 时间以下
就可以或不行时,我们就称之为「多项式时间决定法」.而能用这个
算法解的问题就是P 问题.反之若有其他因素,例如第六感参与进来
的算法就叫做「非决定性算法」,这类的问题就是「NP 问题」,NP 是
Non deterministic Polynomial time (非决定性多项式时间)的缩写.
由定义来说,P 问题是NP 问题的一部份.但是否NP 问题里面有
些不属於P 问题等级的东西呢?或者NP 问题终究也成为P 问题?这
就是相当著名的PNP 问题.
4、.纳维尔–史托克方程（Navier–Stokes Equations）
因为尤拉方程太过简化所以寻求作修正,在修正的过程中产生了
新的结果.法国工程师纳维尔及英国数学家史托克经过了严格的数学
推导,将黏性项也考虑进去得到的就是纳维尔–史托克方程.
自从西元1943 年法国数学家勒雷（Leray）证明了纳维尔–史托
克方程的全时间弱解(global weak solution)之后,人们一直想知道
的是此解是否唯一?得到的结果是：如果事先假设纳维尔–史托克方
程的解是强解(strong solution),则解是唯一.所以此问题变成:弱解与强解之间的差距有多大,有没有可能弱解会等於强解?换句话说,是不是能得到纳维尔–史托克方程的全时间平滑解?再者就是证
明其解在有限时间内会爆掉(blow up in finite time).
解决此问题不仅对数学还有对物理与航太工程有贡献,特别是乱
流(turbulence)都会有决定性的影响,另外纳维尔–史托克方程与奥
地利伟大物理学家波兹曼的波兹曼方程也有密切的关系,研究纳维
尔–史托克（尤拉）方程与波兹曼方程（Boltzmann Equations）两
者之关系的学问叫做流体极限(hydrodynamics limit),由此可见纳
维尔–史托克方程本身有非常丰富之内涵.
5.庞加莱臆测(Poincare Conjecture)
庞加莱臆测是拓朴学的大问题.用数学界的行话来说：单连通的
三维闭流形与三维球面同胚.
从数学的意义上说这是一个看似简单却又非
常困难的问题,自庞加莱在西元1904 年提出之
后,吸引许多优秀的数学家投入这个研究主题.
庞加莱（图4）臆测提出不久,数学们自然的将
之推广到高维空间(n4),我们称之为广义庞加莱臆测：单连通的
≥
n(n4)维闭流形,如果与n
≥ 维球面有相同的基本群(fundamental group)则必与n维球面同胚.
经过近60 年后,西元1961 年,美国数学家斯麦尔（Smale）以
巧妙的方法,他忽略三维、四维的困难,直接证明五维(n5)以上的
≥
广义庞加莱臆测,他因此获得西元1966 年的费尔兹奖.经过20年之
后,另一个美国数学家佛瑞曼（Freedman）则证明了四维的庞加莱臆
测,并於西元1986年因为这个成就获得费尔兹奖.但是对於我们真
正居住的三维空间(n3),在当时仍然是一个未解之谜.
=
一直到西元2003 年4 月,俄罗斯数学家斐雷曼（Perelman）於
麻省理工学院做了三场演讲,在会中他回答了许多数学家的疑问,许
多迹象显示斐雷曼可能已经破解庞加莱臆测.数天后「纽约时报」首
次以「俄国人解决了著名的数学问题」为题向公众披露此一消息.同
日深具影响力的数学网站MathWorld 刊出的头条文章为「庞加莱臆测
被证明了,这次是真的!」[14].
数学家们的审查将到2005年才能完成,到目前为止,尚未发现
斐雷曼无法领取克雷数学研究所之百万美金的漏洞.
6.白之与斯温纳顿-戴尔臆测（Birch and Swinnerton-Dyer
Conjecture）
一般的椭圆曲线方程式 y^2=x^3+ax+b ,在计算椭圆之弧长时
就会遇见这种曲线.自50 年代以来,数学家便发现椭圆曲线与数论、
几何、密码学等有著密切的关系.例如：怀尔斯（Wiles）证明费马
最后定理,其中一个关键步骤就是用到椭圆曲线与模形式(modularform)之关系－即谷山-志村猜想,白之与斯温纳顿-戴尔臆测就是与
椭圆曲线有关.
60年代英国剑桥大学的白之与斯温纳顿-戴尔利用电脑计算一些
多项式方程式的有理数解.通常会有无穷多解,然而要如何计算无限
呢?其解法是先分类,典型的数学方法是同余(congruence)这个观念
并藉此得同余类(congruence class)即被一个数除之后的余数,无穷
多个数不可能每个都要.数学家自然的选择了质数,所以这个问题与
黎曼猜想之Zeta 函数有关.经由长时间大量的计算与资料收集,他
们观察出一些规律与模式,因而提出这个猜测.他们从电脑计算之结
果断言：椭圆曲线会有无穷多个有理点,若且唯若附於曲线上面的
Zeta 函数ζ (s) = 时取值为0,即ζ (1)
；当s1= 0
7.霍奇臆测(Hodge Conjecture)
「任意在非奇异投影代数曲体上的调和微分形式,都是代数圆之
上同调类的有理组合.」
最后的这个难题,虽不是千禧七大难题中最困难的问题,但却可
能是最不容易被一般人所了解的.因为其中有太多高深专业而且抽象