数学不是“数”学——话说无理数
“数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行,这可能与恩格斯著作的长期影响有关.对于数学,今天人们更加认同于如下的说法：
“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”（《科学技术百科全书》[麦格劳-希尔图书公司]第1卷数学,科学出版社1980,235-236页）；
“到1900年,数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权,因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了”（ 克莱因《古今数学思想》第4册,上海科学技术出版社1979,111页）.
照此说法,数学就不是“数”学了.然而,数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱.既是抽象的又有实在的一面,人们逐渐形成了对数学的主流看法——数学的现状“一方面是其内在的统一性,另一方面是外界应用的更高的自觉性”,数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”（美国国家研究委员会《振兴美国数学——90年代的计划》,叶其孝等译,世界图书出版公司1993）,而不再局限于给数学下一个定义.
毕达哥拉斯

无理数是一个能恰好地描述数学特征的案例.从数学发展史看,人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras,公元前582-497）学派,但二千四百年后才产生包括无理数在内的实数严格定义；从当今教育的知识体系看,学生在初中阶段开始接触无理数,直到大学毕业却仍然不明白无理数的实质含义.历史与现实两者的契合正好说明无理数的两面特征,应用性使得它是常见的数学工具之一,而抽象性又使所有非数学工作者不能真正认识它.
克罗内克
数系的扩张过程以自然数为基础,德国数学家克罗内克（Kronecker,1823-1891）说“上帝创造了整数,其它一切都是人造的”（克莱因《古今数学思想》第4册,上海科学技术出版社1979,41页）.零与自然数的产生源于人类在生存活动中的原始冲动,这一推测想来不会有问题,人的双手有十指与十进制的广泛使用也当然有密切关系；
类似于 2+3=5 的事实产生了加法的概念,然而2加上几会等于1呢?由此需要定义负数：一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法.产生零、负自然数,合称整数；
加法的重复进行产生了乘法,2×3=6 就是三个2相加.然而2乘以几会等于1呢?由此需要定义倒数：一个数的“倒数”即它与该数之积等于1,进而定义除法,产生既约分数,合称有理数.
以上过程不论用抽象的数学语言还是通俗语言来描述都容易为人接受,可以说由于计数、测量的需要而扩大了数系.
最早出现的无理数也与计数、测量有关.乘法的重复进行产生了乘方,23 就是三个2相乘,然而哪个数的平方会等于2呢?毕达哥拉斯学派提出了这个问题,边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数,后来用√2表示对角线的长度,无理数的概念初步形成.
以下是关于√2不是有理数的一个证明,载于欧几里德《几何原本》,但据说是更早的毕达哥拉斯学派所作 ：设√2是既约分数p/q,即√2=p/q,则2q2=p2,这表明p2是偶数,p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数）,设p=2k,得q2=2k2,于是q也是偶数,这与p/q是既约分数矛盾.
虽然开方运算可能产生无理数,但仿照上述办法来扩张数系会遇到困难.例如仅用开方定义新的数例如√2,3√2（后来被称为初等无理数）是不够的；(1+√2) 就不能通过对某有理数开方而得,那么(1+√2)是什么?试作一比较,任何有理数总可以乘以某整数而还原成整数,但(1+√2)的任何次乘方却不可能得到有理数.
阿贝尔
考虑到此,容易想到的办法是用有理数的加减乘除、乘方、开方定义新的数,后来被称为复合无理数,显然它包含了初等无理数.毕竟扩张数系的动力之一是使代数方程有解,例如(1+√2)的产生使得方程x2-2x-1=0有解.
但又有新的问题,挪威数学家阿贝尔（Abel,1802-1829）于1825年证明“一般五次方程不能只用根式求解”,紧接着法国数学家伽罗瓦（Galois,1811-1832）解决“方程须有何种性质才可求根式解”的问题,复合无理数立即黯然失色.
伽罗瓦
数学家顽强地推进,索性将新的数系定义为所有有理系数方程的根（后来称为代数数）,有理数、初等无理数、复合无理数都被包括在内.数系的扩张本来是从现实需要出发的问题,但现在已经开始变得抽象了,因为代数数中那些不是有理数、初等无理数、复合无理数的“数”究竟什么样子?这不仅不能回答,似乎也并不重要,重要的是这样的“数”确实存在.
不得不面对的烦恼是,一个代数数的描述与运算都必须通过相关的代数方程的系数,而且代数方程的根通常不是唯一的.

彻底摧毁这一定义方式的是1844年柳维尔（Liouville,1809-1882）证明非代数数的存在.早在1830年代,e=1+(1/1!)+(1+2!)+...+(1/n!)+...与圆周率π被证明是无理数,在柳维尔的结论宣布后不久,1873年、1883年数学家埃尔米特(Hermite,1822-1901)与林德曼（Lindemann,1852-1939）先后证明e,π不是代数数.
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数,人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数,这也是直至19世纪中叶以前的实际做法.它看起来很通俗,不明白无理数奥妙的人大体也是这样理解无理数的.但这样做遇到的困难更大：关键的问题是你无法判断一个数是无限不循环的,也不能将两个无限不循环的数进行加减乘除.
不循环的无限小数当然是难以认识,如果我们翻用一下列夫•托尔斯泰著名小说《安娜•卡列尼娜》中的名句“幸福的家庭都是幸福的；不幸的家庭各有各的不幸”,那就是：循环的小数都是一样的循环,不循环的小数各有各的不循环!16世纪德国数学家施蒂费尔（Stifel,约1486-1567）说“当我们想把它们数出来（用十进小数表示）时,…就发现它们无止境地往远处跑,因而没有一个无理数实质上是能被我们准确掌握住的….而本身缺乏准确性的东西就不能称其为真正的数….所以,正如无穷大的数并非数一样,无理数也不是真正的数,而是隐藏在一种无穷迷雾后面的东西”（克莱因《古今数学思想》第1册,上海科学技术出版社1979, 292页）
克莱因指出“所有在Weierstrass（德国数学家外尔斯特拉斯1815-1897——引注）之前引进无理数的人都采用了这样的概念,即无理数是一个以有理数为项的无穷序列的极限.但是这个极限,假如是无理数,在逻辑上是不存在的,除非无理数已经有了定义”（克莱因《古今数学思想》第4册,上海科学技术出版社1979,46页）.
一本著名的数学教材将“无限不循环小数”称为“中学生的实数”,“用这个定义,实数是非常具体的对象,但在定义加法和乘法时所包含的困难是不容忽视的”,在介绍了加法定义的一种方式及指出乘法可类似处理后说“不过,乘法逆元素的存在将又一次是最困难的”并就此打住（斯皮瓦克《微积分》下册,张毓贤等译,人民教育出版社1981,695页）.
根据施蒂费尔的说法我们只能说√2不是有理数,而不能说它是无理数,因为我们还没有定义什么是“无理数”.前述古希腊人关于√2无理性的证明应当是“不存在这样的有理数使其平方等于2”.由于除了有理数就没有数,√2根本就不是“数”.
现在可以看到无理数问题的困难所在：从开方运算的逆运算与确定边长为1的正方形的对角线长度的需要,都应当在有理数的基础上再扩大,这与以往从自然数扩大到整数、从整数扩大到有理数没有什么两样.然而在具体做法上,利用运算的逆向进行或通过对有理数进行代数运算或用代数方程的根而产生的“数”是不完全的,“无限不循环小数”的说法又不合理不严格.这一困难使数学史上数系的扩张停滞了两千多年.
进一步扩张数系的必要性是不成问题的,在很长时间里人们将无理数理解为其近似值,从实用的角度来说,一个没有严格定义的东西难道就不能存在、不能使用吗?但是数学奉行严密逻辑的理念自欧几里德《几何原本》以来就坚定不移,不以现实为背景的非欧几何的产生（18世纪）加深了数学家对于摆脱实在性的趋同.
从整数产生有理数曾经主要是根据测量、计数的需要,但现在要回到始点从头做起.例如纯粹从数学发展的内在动力与逻辑展开来定义有理数：
设p,q是整数,则数偶(p,q)称为有理数,规定两个有理数的乘法、加法规则,证明它们符合交换律、结合律等等.这是一个用以参考的范式：将某种“对象”定义为实数,其目标与要求应当是能包含以上已有的所有对象,有通常的加法乘法且符合运算规则.
以下介绍的两种定义中的“数”仅指有理数,而实数是用“数”按特定方式构成的那样一些“对象”或“东西”.
戴德金（Dadekind,1831-1916）定义：一个实数定义为有理数的一个集合,这个集合是数轴上所有有理数从某处分开的左边“一半”（数学术语为“分割”）,且没有最大的数.
按戴德金的定义,实数集合的每个元是有理数集合的一个子集,一个实数是有理数的一个集合.例如所有小于2的有理数集合确定一个实数,它就是2；所有其平方小于2的有理数集合确定一个实数,它就是√2.须注意这两例有一个重要区别,对应于有理数的“分割”其“右半”有最小的数2,对应于无理数的“分割”其“右半”没有最小的数.戴德金的定义来源于这样的启示：每个有理数作为有长度的线段,对应着数轴上的坐标.边长为1的正方形的对角线线段也应对应数轴上的一个点,这意味着如果只有有理数,数轴上存有“空隙”——尽管有理数非常稠密.应当填补这些“空隙”使数轴成为完美的,欧几里德《几何原本》中曾记载过这一思想的雏形.
康托（Cantor,1845-1918）定义：一个实数定义为有理数的柯西序列a1,a2,...,an,此处an都是有理数,且满足对于任意自然数p必有自然数N,使当m＞N,n＞N时有|am-an|＜1/q.康托的定义来源于如下的启示：若只限于有理数,则“微积分”的命题“单调有界数列必收敛”可能不成立,例如有理数数列x0=1,xn+1=(xn+2/xn)/2 是单调递减的、有界的,其极限是√2.
在以上两种定义中还要分别规定实数之间的大小比较、如何运算然后证明运算是符合熟知的规则的.另一个需要解决的重要问题是,这两种实数定义所规定的这些“东西”在抽象意义上是不是相同的?如果不能肯定回答岂不会带来一片混乱,何况还会有其它形式的实数定义.这些问题当然都已一一妥帖解决.
试对两种定义做一比较评判：康托的定义较实在,由于明显涉及了无限（必定有时间如何发展的直觉）的概念称为是动态的.例如,说数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...定义无理数√2,必须附加对于数列变化规律的种种说明.戴德金的定义较虚幻,但是是静态的,它摆脱了由时间直觉所附加的束缚.
为了加深印象,现在我们必须用最简明最通俗的语言来描述一下“实数”：按戴德金的说法,一个实数是有理数的一个集合；按康托的说法,一个实数是有理数的一个（柯西）序列.数学史上还有别的实数定义,在那里实数又有另外一副面孔.
几乎在构建实数体系的同时,1874年康托还证明了无理数比有理数多得多、非代数数比代数数多得多!这也意味着,无形的、不是根式的无理数竟比直观的、根式的无理数多得多!数轴上代表有理数的点虽然是稠密的——任何两个有理数点之间恒有无数多有理数点,但是除有理数点外的“空隙”更多.“空隙”一旦填满,稠密概念发展成了连续的概念,数轴上点与实数完全对应,无理数问题画上了永远的句号.这里涉及关于集合中元素“个数”的比较问题,本文限于篇幅就此打住了.
实数体系的建立,使得诸如3√2表示什么得以明确,“高等数学”中命题“单调有界数列必收敛”、闭区间连续函数的性质得以证明.
然而从应用角度或对于非数学工作者（绝大多数人）而言,却是再次回到古希腊.无理数仍然是“小数”,人们并不真正关心它的“无尽”、“不循环”,事实上也无法弄清楚,只是按需要取作适当位数的近似值.例如说到圆周率π,为什么要关心它是循环的还是不循环的呢?“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量”（丹齐克《数：科学的语言》苏仲湘译,上海教育出版社2000年,98页）.
至于数学家,在定义了无理数之后依然两手空空,数学家所知道的无理数确实少的可怜：知道得最多的只是各式各样的根式,这是古希腊人即已知道的；其次是π与e两个非代数数.那些比代数数多得多的无理数在哪儿?1900年数学家希尔伯特（Hilbert,1862-1943）提出著名的23个数学问题即包括了这一内容.以后的进展是,数学家证明若α是代数数（除0与1）、β是无理的代数数,则αβ是非代数数（1934年）.然而,若稍微追问一句“(π+e)是无理数还是有理数”?则至今都没有严密的答案.数学家心安理得的是建立了无懈可击的实数体系,在坚实的基础上,任何闲言碎语都是不足道的.无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用,可谓占尽天上人间风光,正是数学的魅力之所在. 数学不是“数”学——话说无理数
“数学是一门研究数量关系和空间形式的科学”的说法在中国曾经十分流行,这可能与恩格斯著作的长期影响有关.对于数学,今天人们更加认同于如下的说法：
“数学是一个完全自成体系的知识领域…数学仅仅讨论它本身想象中的实体及关系”（《科学技术百科全书》[麦格劳-希尔图书公司]第1卷数学,科学出版社1980,235-236页）；
“到1900年,数学已经从实在性中分裂出来了；它已经明显地而且无可挽回地失去了它对自然界真理的所有权,因而变成了一些没有意义的东西的任意公理的必然推论的随从了”（ 克莱因《古今数学思想》第4册,上海科学技术出版社1979,111页）.
照此说法,数学就不是“数”学了.然而,数学与生俱来的强大应用性并不因为“数学已经从实在性中分裂出来了”而有稍微的减弱.既是抽象的又有实在的一面,人们逐渐形成了对数学的主流看法——数学的现状“一方面是其内在的统一性,另一方面是外界应用的更高的自觉性”,数学的两种趋势是“从外部寻求新问题和在内部追求统一”（美国国家研究委员会《振兴美国数学——90年代的计划》,叶其孝等译,世界图书出版公司1993）,而不再局限于给数学下一个定义.
毕达哥拉斯

无理数是一个能恰好地描述数学特征的案例.从数学发展史看,人类对无理数的发蒙始于古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras,公元前582-497）学派,但二千四百年后才产生包括无理数在内的实数严格定义；从当今教育的知识体系看,学生在初中阶段开始接触无理数,直到大学毕业却仍然不明白无理数的实质含义.历史与现实两者的契合正好说明无理数的两面特征,应用性使得它是常见的数学工具之一,而抽象性又使所有非数学工作者不能真正认识它.
克罗内克
数系的扩张过程以自然数为基础,德国数学家克罗内克（Kronecker,1823-1891）说“上帝创造了整数,其它一切都是人造的”（克莱因《古今数学思想》第4册,上海科学技术出版社1979,41页）.零与自然数的产生源于人类在生存活动中的原始冲动,这一推测想来不会有问题,人的双手有十指与十进制的广泛使用也当然有密切关系；
类似于 2+3=5 的事实产生了加法的概念,然而2加上几会等于1呢?由此需要定义负数：一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法.产生零、负自然数,合称整数；
加法的重复进行产生了乘法,2×3=6 就是三个2相加.然而2乘以几会等于1呢?由此需要定义倒数：一个数的“倒数”即它与该数之积等于1,进而定义除法,产生既约分数,合称有理数.
以上过程不论用抽象的数学语言还是通俗语言来描述都容易为人接受,可以说由于计数、测量的需要而扩大了数系.
最早出现的无理数也与计数、测量有关.乘法的重复进行产生了乘方,23 就是三个2相乘,然而哪个数的平方会等于2呢?毕达哥拉斯学派提出了这个问题,边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数,后来用√2表示对角线的长度,无理数的概念初步形成.
以下是关于√2不是有理数的一个证明,载于欧几里德《几何原本》,但据说是更早的毕达哥拉斯学派所作 ：设√2是既约分数p/q,即√2=p/q,则2q2=p2,这表明p2是偶数,p也是偶数（否则若p是奇数则p2是奇数）,设p=2k,得q2=2k2,于是q也是偶数,这与p/q是既约分数矛盾.
虽然开方运算可能产生无理数,但仿照上述办法来扩张数系会遇到困难.例如仅用开方定义新的数例如√2,3√2（后来被称为初等无理数）是不够的；(1+√2) 就不能通过对某有理数开方而得,那么(1+√2)是什么?试作一比较,任何有理数总可以乘以某整数而还原成整数,但(1+√2)的任何次乘方却不可能得到有理数.
阿贝尔
考虑到此,容易想到的办法是用有理数的加减乘除、乘方、开方定义新的数,后来被称为复合无理数,显然它包含了初等无理数.毕竟扩张数系的动力之一是使代数方程有解,例如(1+√2)的产生使得方程x2-2x-1=0有解.
但又有新的问题,挪威数学家阿贝尔（Abel,1802-1829）于1825年证明“一般五次方程不能只用根式求解”,紧接着法国数学家伽罗瓦（Galois,1811-1832）解决“方程须有何种性质才可求根式解”的问题,复合无理数立即黯然失色.
伽罗瓦
数学家顽强地推进,索性将新的数系定义为所有有理系数方程的根（后来称为代数数）,有理数、初等无理数、复合无理数都被包括在内.数系的扩张本来是从现实需要出发的问题,但现在已经开始变得抽象了,因为代数数中那些不是有理数、初等无理数、复合无理数的“数”究竟什么样子?这不仅不能回答,似乎也并不重要,重要的是这样的“数”确实存在.
不得不面对的烦恼是,一个代数数的描述与运算都必须通过相关的代数方程的系数,而且代数方程的根通常不是唯一的.

彻底摧毁这一定义方式的是1844年柳维尔（Liouville,1809-1882）证明非代数数的存在.早在1830年代,e=1+(1/1!)+(1+2!)+...+(1/n!)+...与圆周率π被证明是无理数,在柳维尔的结论宣布后不久,1873年、1883年数学家埃尔米特(Hermite,1822-1901)与林德曼（Lindemann,1852-1939）先后证明e,π不是代数数.
由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数,人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数,这也是直至19世纪中叶以前的实际做法.它看起来很通俗,不明白无理数奥妙的人大体也是这样理解无理数的.但这样做遇到的困难更大：关键的问题是你无法判断一个数是无限不循环的,也不能将两个无限不循环的数进行加减乘除.
不循环的无限小数当然是难以认识,如果我们翻用一下列夫•托尔斯泰著名小说《安娜•卡列尼娜》中的名句“幸福的家庭都是幸福的；不幸的家庭各有各的不幸”,那就是：循环的小数都是一样的循环,不循环的小数各有各的不循环!16世纪德国数学家施蒂费尔（Stifel,约1486-1567）说“当我们想把它们数出来（用十进小数表示）时,…就发现它们无止境地往远处跑,因而没有一个无理数实质上是能被我们准确掌握住的….而本身缺乏准确性的东西就不能称其为真正的数….所以,正如无穷大的数并非数一样,无理数也不是真正的数,而是隐藏在一种无穷迷雾后面的东西”（克莱因《古今数学思想》第1册,上海科学技术出版社1979, 292页）
克莱因指出“所有在Weierstrass（德国数学家外尔斯特拉斯1815-1897——引注）之前引进无理数的人都采用了这样的概念,即无理数是一个以有理数为项的无穷序列的极限.但是这个极限,假如是无理数,在逻辑上是不存在的,除非无理数已经有了定义”（克莱因《古今数学思想》第4册,上海科学技术出版社1979,46页）.
一本著名的数学教材将“无限不循环小数”称为“中学生的实数”,“用这个定义,实数是非常具体的对象,但在定义加法和乘法时所包含的困难是不容忽视的”,在介绍了加法定义的一种方式及指出乘法可类似处理后说“不过,乘法逆元素的存在将又一次是最困难的”并就此打住（斯皮瓦克《微积分》下册,张毓贤等译,人民教育出版社1981,695页）.
根据施蒂费尔的说法我们只能说√2不是有理数,而不能说它是无理数,因为我们还没有定义什么是“无理数”.前述古希腊人关于√2无理性的证明应当是“不存在这样的有理数使其平方等于2”.由于除了有理数就没有数,√2根本就不是“数”.
现在可以看到无理数问题的困难所在：从开方运算的逆运算与确定边长为1的正方形的对角线长度的需要,都应当在有理数的基础上再扩大,这与以往从自然数扩大到整数、从整数扩大到有理数没有什么两样.然而在具体做法上,利用运算的逆向进行或通过对有理数进行代数运算或用代数方程的根而产生的“数”是不完全的,“无限不循环小数”的说法又不合理不严格.这一困难使数学史上数系的扩张停滞了两千多年.
进一步扩张数系的必要性是不成问题的,在很长时间里人们将无理数理解为其近似值,从实用的角度来说,一个没有严格定义的东西难道就不能存在、不能使用吗?但是数学奉行严密逻辑的理念自欧几里德《几何原本》以来就坚定不移,不以现实为背景的非欧几何的产生（18世纪）加深了数学家对于摆脱实在性的趋同.
从整数产生有理数曾经主要是根据测量、计数的需要,但现在要回到始点从头做起.例如纯粹从数学发展的内在动力与逻辑展开来定义有理数：
设p,q是整数,则数偶(p,q)称为有理数,规定两个有理数的乘法、加法规则,证明它们符合交换律、结合律等等.这是一个用以参考的范式：将某种“对象”定义为实数,其目标与要求应当是能包含以上已有的所有对象,有通常的加法乘法且符合运算规则.
以下介绍的两种定义中的“数”仅指有理数,而实数是用“数”按特定方式构成的那样一些“对象”或“东西”.
戴德金（Dadekind,1831-1916）定义：一个实数定义为有理数的一个集合,这个集合是数轴上所有有理数从某处分开的左边“一半”（数学术语为“分割”）,且没有最大的数.
按戴德金的定义,实数集合的每个元是有理数集合的一个子集,一个实数是有理数的一个集合.例如所有小于2的有理数集合确定一个实数,它就是2；所有其平方小于2的有理数集合确定一个实数,它就是√2.须注意这两例有一个重要区别,对应于有理数的“分割”其“右半”有最小的数2,对应于无理数的“分割”其“右半”没有最小的数.戴德金的定义来源于这样的启示：每个有理数作为有长度的线段,对应着数轴上的坐标.边长为1的正方形的对角线线段也应对应数轴上的一个点,这意味着如果只有有理数,数轴上存有“空隙”——尽管有理数非常稠密.应当填补这些“空隙”使数轴成为完美的,欧几里德《几何原本》中曾记载过这一思想的雏形.
康托（Cantor,1845-1918）定义：一个实数定义为有理数的柯西序列a1,a2,...,an,此处an都是有理数,且满足对于任意自然数p必有自然数N,使当m＞N,n＞N时有|am-an|＜1/q.康托的定义来源于如下的启示：若只限于有理数,则“微积分”的命题“单调有界数列必收敛”可能不成立,例如有理数数列x0=1,xn+1=(xn+2/xn)/2 是单调递减的、有界的,其极限是√2.
在以上两种定义中还要分别规定实数之间的大小比较、如何运算然后证明运算是符合熟知的规则的.另一个需要解决的重要问题是,这两种实数定义所规定的这些“东西”在抽象意义上是不是相同的?如果不能肯定回答岂不会带来一片混乱,何况还会有其它形式的实数定义.这些问题当然都已一一妥帖解决.
试对两种定义做一比较评判：康托的定义较实在,由于明显涉及了无限（必定有时间如何发展的直觉）的概念称为是动态的.例如,说数列1,1.4,1.41,1.414,1.4142,...定义无理数√2,必须附加对于数列变化规律的种种说明.戴德金的定义较虚幻,但是是静态的,它摆脱了由时间直觉所附加的束缚.
为了加深印象,现在我们必须用最简明最通俗的语言来描述一下“实数”：按戴德金的说法,一个实数是有理数的一个集合；按康托的说法,一个实数是有理数的一个（柯西）序列.数学史上还有别的实数定义,在那里实数又有另外一副面孔.
几乎在构建实数体系的同时,1874年康托还证明了无理数比有理数多得多、非代数数比代数数多得多!这也意味着,无形的、不是根式的无理数竟比直观的、根式的无理数多得多!数轴上代表有理数的点虽然是稠密的——任何两个有理数点之间恒有无数多有理数点,但是除有理数点外的“空隙”更多.“空隙”一旦填满,稠密概念发展成了连续的概念,数轴上点与实数完全对应,无理数问题画上了永远的句号.这里涉及关于集合中元素“个数”的比较问题,本文限于篇幅就此打住了.
实数体系的建立,使得诸如3√2表示什么得以明确,“高等数学”中命题“单调有界数列必收敛”、闭区间连续函数的性质得以证明.
然而从应用角度或对于非数学工作者（绝大多数人）而言,却是再次回到古希腊.无理数仍然是“小数”,人们并不真正关心它的“无尽”、“不循环”,事实上也无法弄清楚,只是按需要取作适当位数的近似值.例如说到圆周率π,为什么要关心它是循环的还是不循环的呢?“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量”（丹齐克《数：科学的语言》苏仲湘译,上海教育出版社2000年,98页）.
至于数学家,在定义了无理数之后依然两手空空,数学家所知道的无理数确实少的可怜：知道得最多的只是各式各样的根式,这是古希腊人即已知道的；其次是π与e两个非代数数.那些比代数数多得多的无理数在哪儿?1900年数学家希尔伯特（Hilbert,1862-1943）提出著名的23个数学问题即包括了这一内容.以后的进展是,数学家证明若α是代数数（除0与1）、β是无理的代数数,则αβ是非代数数（1934年）.然而,若稍微追问一句“(π+e)是无理数还是有理数”?则至今都没有严密的答案.数学家心安理得的是建立了无懈可击的实数体系,在坚实的基础上,任何闲言碎语都是不足道的.无理数所体现的完美无缺、一丝不苟的纯粹理性与无孔不入、尽人皆知的世俗应用,可谓占尽天上人间风光,正是数学的魅力之所在.