数学
某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EFGH；（填“>”“=”或“<”）（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证： EF GH = AD AB

2019-06-02

某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答：
（1）如图1，正方形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，则EF___GH；（填“>”“=”或“<”）
（2）如图2，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H，求证：
EF
GH
=
AD
AB
；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，BC=3，CD=5，AD=7.5，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求
DN
AM
的值．
作业帮
优质解答
（1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．
作业帮
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AD∥BC．AB=BC，∠ABP=∠C=90°
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=GH，EF=BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，
∴∠CBQ=∠BAT，
在△ABP和△BCQ中，
∠BAP=∠CBQ
∠ABP=∠C
AB=BC
，
∴△ABP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴EF=GH，
故答案为=．

（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，
作业帮
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴
AP
BQ
=
AD
AB
，
∴
EF
GH
=
AD
AB
；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
作业帮
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得
DN
AM
=
AR
AB
，
设SC=x，则AR=BS=3+x，
∵∠ADC=∠R=∠S=90°，
∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°，
∴∠RAD=∠CDS，
∴△ARD∽△DSC，
∴
DR
SC
=
AD
DC
=
AR
DS
=
7.5
5
=
3
2
，
∴DR=
3
2
x，DS=
3
2
（x+3），
在Rt△ARD中，∵AD2=AR2+DR2，
∴7.52=（x+3）2+（
3
2
x）2，
整理得13x2+24x-189=0，解得x=3或-
63
13
，
∴AR=6，AB=RS=
27
2
，
∴
DN
AM
=
AR
AB
=
4
9
． （1）如图1中，过点A作AP∥GH，交BC于P，过点B作BQ∥EF，交CD于Q，交BQ于T．
作业帮
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AD∥BC．AB=BC，∠ABP=∠C=90°
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=GH，EF=BQ．
又∵GH⊥EF，
∴AP⊥BQ，
∴∠PBT+∠ABT=90°，∠ABT+∠BAT=90°，
∴∠CBQ=∠BAT，
在△ABP和△BCQ中，
∠BAP=∠CBQ
∠ABP=∠C
AB=BC
，
∴△ABP≌△BCQ，
∴AP=BQ，
∴EF=GH，
故答案为=．

（2）过点A作AP∥EF，交CD于P，过点B作BQ∥GH，交AD于Q，如图2，
作业帮
∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形AEFP、四边形BHGQ都是平行四边形，
∴AP=EF，GH=BQ．
又∵GH⊥EF，∴AP⊥BQ，
∴∠QAT+∠AQT=90°．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠D=90°，
∴∠DAP+∠DPA=90°，
∴∠AQT=∠DPA．
∴△PDA∽△QAB，
∴
AP
BQ
=
AD
AB
，
∴
EF
GH
=
AD
AB
；
（3）过点D作平行于AB的直线，交过点A平行于BC的直线于R，交BC的延长线于S，如图3，
作业帮
则四边形ABSR是平行四边形．
∵∠ABC=90°，∴▱ABSR是矩形，
∴∠R=∠S=90°，RS=AB=10，AR=BS．
∵AM⊥DN，
∴由（1）中的结论可得
DN
AM
=
AR
AB
，
设SC=x，则AR=BS=3+x，
∵∠ADC=∠R=∠S=90°，
∴∠ADR+∠RAD=90°，∠ADR+∠SDC=90°，
∴∠RAD=∠CDS，
∴△ARD∽△DSC，
∴
DR
SC
=
AD
DC
=
AR
DS
=
7.5
5
=
3
2
，
∴DR=
3
2
x，DS=
3
2
（x+3），
在Rt△ARD中，∵AD2=AR2+DR2，
∴7.52=（x+3）2+（
3
2
x）2，
整理得13x2+24x-189=0，解得x=3或-
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13
，
∴AR=6，AB=RS=
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2
，
∴
DN
AM
=
AR
AB
=
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