一元实变函数的可微性与其导函数的可积性之间的关系,请熟悉数学分析的大师解答.若函数f(x)在有限闭区间I内可微,则它的导函数f'(x)在区间I内是否一定(黎曼)可积?如果存在相应的定理或结论,请给出.
2020-04-29
一元实变函数的可微性与其导函数的可积性之间的关系,请熟悉数学分析的大师解答.
若函数f(x)在有限闭区间I内可微,则它的导函数f'(x)在区间I内是否一定(黎曼)可积?如果存在相应的定理或结论,请给出.
优质解答
f(x)在[a,b]上可微,即使再加上f'(x)有界的条件也不能保证f'(x)在[a,b]上Riemann可积,例子是Volterra函数
顺带提一下,如果g(x)在[a,b]上Riemann可积,\int_a^x g(t)dt 未必可微,即便可微也不能保证是g(x)的原函数
f(x)在[a,b]上可微,即使再加上f'(x)有界的条件也不能保证f'(x)在[a,b]上Riemann可积,例子是Volterra函数
顺带提一下,如果g(x)在[a,b]上Riemann可积,\int_a^x g(t)dt 未必可微,即便可微也不能保证是g(x)的原函数