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数学,作为人类智慧的一种表达形式,反映生动活泼的概念,深入细致的思考,以及完美和谐的愿望.它的基础是逻辑和直觉,分析和推理,共性和个性.虽然,不同的传统学派各自强调不同的侧面,但是只有双方对立的力量相互依存和相互斗争,才真正形成数学科学的生命力,可用性,以及至上的价值.
毫无疑义,数学的一切进展都不同程度地根植于实际的需要.但是,一旦数学在实际需要的迫使下被推动了,它自身不可避免地便获得一种动量,使之超越出直接应用的界限,在应用学科和理论学科的发展历史中,经常出现这样的趋势,今天,许多工程师和物理学家所写的有关近代数学的论文中,同样存在这种趋势.
公元前2000年,东方国家开始出现有记载的数学,巴比伦人积累了大量资料,这些资料按照当今的分类,大体属于初等代数的范畴.然而,数学作为近代意义的科学,直到很久以后才在古希腊开始形成,时间大约在公元前四、五世纪.东方人与希腊人的大量接触始于波斯王朝,至亚历山大远征后,激增达于兴盛极点.这种接触促使希腊人熟悉巴比伦的数学和天文学的成就.不久,在希腊城镇中以数学为主题的哲理探讨便蓬勃发展起来.这样,希腊思想家很快就察觉到数学中若干最困难的概念,例如连续性、运动、无限性,以及用已知单位度量任意量等问题.这些难题经过艰辛的努力之后,所得结果是一重大成就,即关于几何连续统打的欧道克修斯理论,它堪与两千年后无理数的近代理论相媲美.数学中的公理演绎法就是从欧道克修斯时代逐步发展起来的,在欧几里德几何原本中表达得最为充分.
虽然,希腊数学流传下来的重要特征之一是理论化与公理化倾向,并且产生过远大的影响,但是它不可能被强调得太过分,这是因为数学的应用以及它与客观相结合在古代数学中曾起过重要的作用,并且欧几里德几何原本严格性较弱的表达方式通常更受欢迎.
也许由于希腊人过早地发现了有关“不可公度”量的困难,从而阻碍他们在东方之前研究出数值计算的技术.他们改变方向,专注于研究如何突破纯粹公理化几何的屏障.这样,科学史中便出现了一段迂回曲折,重大的机会可能被错过了.几乎长达两千年之久,希腊几何倾向的重负阻碍了数的概念和代数运算的正常进展,而这种进展正是日后形成近代科学的基础.
经历了一个冗长缓慢的酝酿过程,知道十七世纪出现了解析几何与微积分,数学和科学遂又进入生气勃勃的大变革状态,此时,希腊几何虽仍保留其重要地位,但是希腊人的最终理想,即公理地定型和系统的演绎,在十七、十八世纪时期渐归于消失.从明确的定义和显见的互不矛盾的公理出发,进行逻辑的严密推理,对于数学科学新的开拓者来说,似乎已无关紧要了.直观的猜想,确实的推理,交织着无意识的神秘主义以及对超人智慧的形式方法的盲目自信,正在开拓着拥有无尽宝藏的数学王国.进展的狂喜逐渐地让位于严格的克己精神.到了十九世纪,由于学科严密化的内在需要,同时法国大革命激起的扩大高等教育的热情,要求高等教育的内容更加可靠,不可避免地要校验新数学,特别是微积分和极限概念的基础.所以,十九世纪不仅是新的进展时期,同时也是成功地返回严格证明的古典理想时期.在这个方面,它甚至胜过希腊科学的模式.重心再次摆动到逻辑纯粹性和抽象性一边.时至今日,看来我们仍处于这个时期,然而人们期望纯粹数学与实际应用不行脱节的局面,必将经历一个批判性的修正阶段,而进入两者紧密结合的新时代.恢复数学本来面目的力量,特别是在清晰理解的基础上得到的极大简化,使人们今天有可能在不忽略应用的前提下来掌握数学理论.再次建立纯粹科学与应用科学之间的有机结合,抽象的共性与丰富多采的个性之间的合理平衡,将是今后数学工作者的崇高任务.
这里不宜详述数学的哲理和心理学分析.只是有几点必须强调.流行着过分强调数学的公理演绎法特征,似乎是一个巨大危机.的确,几何作图的发现和生动的直观,动辄规避单纯的哲理程式；但是它却包含着任意数学成就的核心,即使在最抽象的科学领域中亦然.如果说固定程式的演绎法是目标的话,则直观和作图至少是原动力.有一种观点严重威胁着科学的生命：数学是一门不知所云的学科,它只是从定义和公理出发推到出来的一系列结论,而这些公理除了必须相互一致外,完全出自数学家心灵的自由创造.如果这种说法是正确的话,那么数学就不可能吸引任何一个有智慧的人.它将是定义、法则和三段论的游戏,既无动力也无目的.有人说：有才智的人凭灵感能够处理有意义的公理系统.这纯属不可信但有部分真实的歪曲报道.只有把数学视作有机整体,且进行严格训练的基础上,在客观需要的指引下,自由心灵才能获得具有科学价值的成果.
虽然逻辑推理的深思熟虑并不代表数学的全部,但是它却引导人们比较深入地理解数学事实以及这些事实之间相互依存的关系,并且引导人们更清晰地领会数学概念的重要性.由此便展现出数学的近代观点,它标志着普遍的科学观点.
不论人们的哲学观点如何,对于科学观察的全部来说,在于从总体上把握事物与可感知的材料或媒介之间的一切可能关系.当然,单纯感觉并不构成知识和理解；它必须与某种基本实体,即“自在之物”相契合、相印证,自在之物不是直接从物理观察所得到的东西,它属于形而上学的.扬弃形而上学的实体,研究通常作为概念和理论直接来源的观察到的事实,这对科学方法来说是十分重要的.摒弃理解“自在之物”,知晓“最终真理”,以及阐明世界的内在本质等目标,这对笃诚的信仰者来说,可能精神上难于接受,但它确实是近代科学思维的最有益的转变.
由于勇敢地坚持摒弃形而上学,物理学终于获得若干最伟大的成就.当爱因斯坦尝试将“在不同位置同时发生的事件”的观念转变为可观察的现象时,他摒弃了认为上述观念必有自身科学意义的形而上学的偏见,从而发生了相对论的关键.当N.波尔和他的学生分析了下述事实,即任何物理观察必定伴随着观察仪器对被观察事物的一种效应,从而得知：空间中质点的力或机械运动都是自在之物,而电、光、磁必须转化或解释为力学现象,如同对热所作过的那样.人们发明一种假想的介质“以太”,但它不能对光或电作出力学运动的解释.逐渐地,人们认识到以太是观察不到的；它属于形而上学而不属于物理学.于是,有些人表示遗憾,另一些人则表示慰藉,光与电的力学解释以及与之联系的以太,最终被摒弃了.
数学中的情况以此类似,且表现的更为突出.长久以来,数学家把他们研究的对象,诸如数、点等,考虑为真实的自在之物.因为这些实体通常均采用相应的描述来定义,所以知道十九世纪,数学家才认识到,这些对象的实际描述对数学来说全然是没有意义的.于这些对象有关的阐述并不涉及真正的实体；它们只是阐明这些数学不予定义的对象之间的相互关系,以及它们的运算法则.在数学科学中,什么是点、线、面,实际上不可能亦不必要去讨论他们.关键在于结构与关系要与“可验证的”事实相符合,诸如：两点决定决定一条直线,按照一定法则由原来的数形成其他的数,等等.近代数学公理化进展中最重要且最有效的成果之一,就是明确地认识到数学的基本概念并不必须具体化.
幸好创造性的智慧经常冲破教条主义哲学信念的束缚,而凡是坚持后者的必然妨碍获得新成就.对于学者,同样对于普通人,只有依靠数学的自身经验,而不是依靠哲学,才能回答下述问题：数学是什么.
数学,作为人类智慧的一种表达形式,反映生动活泼的概念,深入细致的思考,以及完美和谐的愿望.它的基础是逻辑和直觉,分析和推理,共性和个性.虽然,不同的传统学派各自强调不同的侧面,但是只有双方对立的力量相互依存和相互斗争,才真正形成数学科学的生命力,可用性,以及至上的价值.
毫无疑义,数学的一切进展都不同程度地根植于实际的需要.但是,一旦数学在实际需要的迫使下被推动了,它自身不可避免地便获得一种动量,使之超越出直接应用的界限,在应用学科和理论学科的发展历史中,经常出现这样的趋势,今天,许多工程师和物理学家所写的有关近代数学的论文中,同样存在这种趋势.
公元前2000年,东方国家开始出现有记载的数学,巴比伦人积累了大量资料,这些资料按照当今的分类,大体属于初等代数的范畴.然而,数学作为近代意义的科学,直到很久以后才在古希腊开始形成,时间大约在公元前四、五世纪.东方人与希腊人的大量接触始于波斯王朝,至亚历山大远征后,激增达于兴盛极点.这种接触促使希腊人熟悉巴比伦的数学和天文学的成就.不久,在希腊城镇中以数学为主题的哲理探讨便蓬勃发展起来.这样,希腊思想家很快就察觉到数学中若干最困难的概念,例如连续性、运动、无限性,以及用已知单位度量任意量等问题.这些难题经过艰辛的努力之后,所得结果是一重大成就,即关于几何连续统打的欧道克修斯理论,它堪与两千年后无理数的近代理论相媲美.数学中的公理演绎法就是从欧道克修斯时代逐步发展起来的,在欧几里德几何原本中表达得最为充分.
虽然,希腊数学流传下来的重要特征之一是理论化与公理化倾向,并且产生过远大的影响,但是它不可能被强调得太过分,这是因为数学的应用以及它与客观相结合在古代数学中曾起过重要的作用,并且欧几里德几何原本严格性较弱的表达方式通常更受欢迎.
也许由于希腊人过早地发现了有关“不可公度”量的困难,从而阻碍他们在东方之前研究出数值计算的技术.他们改变方向,专注于研究如何突破纯粹公理化几何的屏障.这样,科学史中便出现了一段迂回曲折,重大的机会可能被错过了.几乎长达两千年之久,希腊几何倾向的重负阻碍了数的概念和代数运算的正常进展,而这种进展正是日后形成近代科学的基础.
经历了一个冗长缓慢的酝酿过程,知道十七世纪出现了解析几何与微积分,数学和科学遂又进入生气勃勃的大变革状态,此时,希腊几何虽仍保留其重要地位,但是希腊人的最终理想,即公理地定型和系统的演绎,在十七、十八世纪时期渐归于消失.从明确的定义和显见的互不矛盾的公理出发,进行逻辑的严密推理,对于数学科学新的开拓者来说,似乎已无关紧要了.直观的猜想,确实的推理,交织着无意识的神秘主义以及对超人智慧的形式方法的盲目自信,正在开拓着拥有无尽宝藏的数学王国.进展的狂喜逐渐地让位于严格的克己精神.到了十九世纪,由于学科严密化的内在需要,同时法国大革命激起的扩大高等教育的热情,要求高等教育的内容更加可靠,不可避免地要校验新数学,特别是微积分和极限概念的基础.所以,十九世纪不仅是新的进展时期,同时也是成功地返回严格证明的古典理想时期.在这个方面,它甚至胜过希腊科学的模式.重心再次摆动到逻辑纯粹性和抽象性一边.时至今日,看来我们仍处于这个时期,然而人们期望纯粹数学与实际应用不行脱节的局面,必将经历一个批判性的修正阶段,而进入两者紧密结合的新时代.恢复数学本来面目的力量,特别是在清晰理解的基础上得到的极大简化,使人们今天有可能在不忽略应用的前提下来掌握数学理论.再次建立纯粹科学与应用科学之间的有机结合,抽象的共性与丰富多采的个性之间的合理平衡,将是今后数学工作者的崇高任务.
这里不宜详述数学的哲理和心理学分析.只是有几点必须强调.流行着过分强调数学的公理演绎法特征,似乎是一个巨大危机.的确,几何作图的发现和生动的直观,动辄规避单纯的哲理程式；但是它却包含着任意数学成就的核心,即使在最抽象的科学领域中亦然.如果说固定程式的演绎法是目标的话,则直观和作图至少是原动力.有一种观点严重威胁着科学的生命：数学是一门不知所云的学科,它只是从定义和公理出发推到出来的一系列结论,而这些公理除了必须相互一致外,完全出自数学家心灵的自由创造.如果这种说法是正确的话,那么数学就不可能吸引任何一个有智慧的人.它将是定义、法则和三段论的游戏,既无动力也无目的.有人说：有才智的人凭灵感能够处理有意义的公理系统.这纯属不可信但有部分真实的歪曲报道.只有把数学视作有机整体,且进行严格训练的基础上,在客观需要的指引下,自由心灵才能获得具有科学价值的成果.
虽然逻辑推理的深思熟虑并不代表数学的全部,但是它却引导人们比较深入地理解数学事实以及这些事实之间相互依存的关系,并且引导人们更清晰地领会数学概念的重要性.由此便展现出数学的近代观点,它标志着普遍的科学观点.
不论人们的哲学观点如何,对于科学观察的全部来说,在于从总体上把握事物与可感知的材料或媒介之间的一切可能关系.当然,单纯感觉并不构成知识和理解；它必须与某种基本实体,即“自在之物”相契合、相印证,自在之物不是直接从物理观察所得到的东西,它属于形而上学的.扬弃形而上学的实体,研究通常作为概念和理论直接来源的观察到的事实,这对科学方法来说是十分重要的.摒弃理解“自在之物”,知晓“最终真理”,以及阐明世界的内在本质等目标,这对笃诚的信仰者来说,可能精神上难于接受,但它确实是近代科学思维的最有益的转变.
由于勇敢地坚持摒弃形而上学,物理学终于获得若干最伟大的成就.当爱因斯坦尝试将“在不同位置同时发生的事件”的观念转变为可观察的现象时,他摒弃了认为上述观念必有自身科学意义的形而上学的偏见,从而发生了相对论的关键.当N.波尔和他的学生分析了下述事实,即任何物理观察必定伴随着观察仪器对被观察事物的一种效应,从而得知：空间中质点的力或机械运动都是自在之物,而电、光、磁必须转化或解释为力学现象,如同对热所作过的那样.人们发明一种假想的介质“以太”,但它不能对光或电作出力学运动的解释.逐渐地,人们认识到以太是观察不到的；它属于形而上学而不属于物理学.于是,有些人表示遗憾,另一些人则表示慰藉,光与电的力学解释以及与之联系的以太,最终被摒弃了.
数学中的情况以此类似,且表现的更为突出.长久以来,数学家把他们研究的对象,诸如数、点等,考虑为真实的自在之物.因为这些实体通常均采用相应的描述来定义,所以知道十九世纪,数学家才认识到,这些对象的实际描述对数学来说全然是没有意义的.于这些对象有关的阐述并不涉及真正的实体；它们只是阐明这些数学不予定义的对象之间的相互关系,以及它们的运算法则.在数学科学中,什么是点、线、面,实际上不可能亦不必要去讨论他们.关键在于结构与关系要与“可验证的”事实相符合,诸如：两点决定决定一条直线,按照一定法则由原来的数形成其他的数,等等.近代数学公理化进展中最重要且最有效的成果之一,就是明确地认识到数学的基本概念并不必须具体化.
幸好创造性的智慧经常冲破教条主义哲学信念的束缚,而凡是坚持后者的必然妨碍获得新成就.对于学者,同样对于普通人,只有依靠数学的自身经验,而不是依靠哲学,才能回答下述问题：数学是什么.