高数题啊,物理方法老师不要.设质量为m的船沿直线行驶,已知水的阻力F与速度v的立方成正比,若在时刻t=0时关闭动力,这时v|(t=0)=v0,F|(t=0)=F0,求动力关闭后船的速度v与经过的路程S的函数关系.1/v=F0S/mv0^3+1/v0 用高数微分方程解,物理方法老师不要.
2019-06-27
高数题啊,物理方法老师不要.
设质量为m的船沿直线行驶,已知水的阻力F与速度v的立方成正比,若在时刻t=0时关闭动力,这时v|(t=0)=v0,F|(t=0)=F0,求动力关闭后船的速度v与经过的路程S的函数关系.1/v=F0S/mv0^3+1/v0 用高数微分方程解,物理方法老师不要.
优质解答
设S为t的函数 即S=S(t)
t 时刻的速度v=S' 加速度a=v'=S''（就是S对t求二次导数)
设F=kv^3 （由题设F与v成正比 故设正比例系数为k） 那么F0=kv0^3 所以k=F0/v0^3
a=-kv^3 （负号表示加速度方向与运动速度方向相反）
从而S''=v'=-kv^3
即 dv/dt=-kv^3 即 dv/(v^3)=-kdt 两边积分得到 (1/2)*(1/v^2-1/v0^2)=kt 从而v=v0/√(1+2kv0^2t)
从而 S={对v积分} √(1+2kv0^2t) / (kv0) +C (C为常数) 由于t=0时 S=0 故C=-1/(kv0)
从而 S=√(1+2kv0^2t) / (kv0) -1/(kv0) 将v代入消去t的刀 S=1/(kv)-1/(kv0)
从而 1/v-1/v0=kS=F0S/v0^3 得证
设S为t的函数 即S=S(t)
t 时刻的速度v=S' 加速度a=v'=S''（就是S对t求二次导数)
设F=kv^3 （由题设F与v成正比 故设正比例系数为k） 那么F0=kv0^3 所以k=F0/v0^3
a=-kv^3 （负号表示加速度方向与运动速度方向相反）
从而S''=v'=-kv^3
即 dv/dt=-kv^3 即 dv/(v^3)=-kdt 两边积分得到 (1/2)*(1/v^2-1/v0^2)=kt 从而v=v0/√(1+2kv0^2t)
从而 S={对v积分} √(1+2kv0^2t) / (kv0) +C (C为常数) 由于t=0时 S=0 故C=-1/(kv0)
从而 S=√(1+2kv0^2t) / (kv0) -1/(kv0) 将v代入消去t的刀 S=1/(kv)-1/(kv0)
从而 1/v-1/v0=kS=F0S/v0^3 得证