谁能破解千年数学难题!证明：如果f（x）能整除f（x^m）,那么f（x）只有零根或单位根
2019-05-23
谁能破解千年数学难题!
证明：如果f（x）能整除f（x^m）,那么f（x）只有零根或单位根
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这个整除关系说明若a是f(x)的根,那么a也是f(x^m)的根,即f(a)=0可推出f(a^m)=0.首先,分解f(x)为(x-a1)(x-a2).(x-an),那么f(x^m)=(x^m-a1)(x^m-a2).(x^m-an).去除其中模为0和1的ai,考察剩下的ai,不妨设aj为模最大的且超过1的根,那么,显然aj回带后f(aj^m)不为0,矛盾,这说明最大模不超过1；同样,不妨设ak为模最小的且小于1的根,回带有f(ak^m)不为0,矛盾,说明最小模不小于1.所以,根的模只可能为0或者1,也就是说f(x)只有零根或单位根.
这个整除关系说明若a是f(x)的根,那么a也是f(x^m)的根,即f(a)=0可推出f(a^m)=0.首先,分解f(x)为(x-a1)(x-a2).(x-an),那么f(x^m)=(x^m-a1)(x^m-a2).(x^m-an).去除其中模为0和1的ai,考察剩下的ai,不妨设aj为模最大的且超过1的根,那么,显然aj回带后f(aj^m)不为0,矛盾,这说明最大模不超过1；同样,不妨设ak为模最小的且小于1的根,回带有f(ak^m)不为0,矛盾,说明最小模不小于1.所以,根的模只可能为0或者1,也就是说f(x)只有零根或单位根.