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某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．（Ⅰ）求该学生考上大学的概率；（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，求该生参加测试的次数为4的概率．

2019-04-30

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是
1
3
，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（Ⅰ）求该学生考上大学的概率；
（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，求该生参加测试的次数为4的概率．
优质解答
（Ⅰ）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为
.
A
，
∴根据题意可得：P(
.
A
)＝
C
1
5
(
1
3
)(
2
3
)4+(
2
3
)5，
∴P(A)＝1−[
C
1
5
•(
1
3
)(
2
3
)4+(
2
3
)5]＝
131
243
，
∴该学生考上大学的概率为
131
243
．
（Ⅱ）记“该学生恰好经过4次测试考上大学”为事件B，记“该学生前4次都没有通过测试”为事件C，
则P（B）=C31×（
1
3
）2×（
2
3
）2=
4
27
，
P（C）=（
2
3
）4=
16
81
，
该生参加测试的次数为4，即B∪C，其概率P（B∪C）=
4
27
+
16
81
=
28
81
，
则该生参加测试的次数为4的概率为
28
81
． （Ⅰ）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为
.
A
，
∴根据题意可得：P(
.
A
)＝
C
1
5
(
1
3
)(
2
3
)4+(
2
3
)5，
∴P(A)＝1−[
C
1
5
•(
1
3
)(
2
3
)4+(
2
3
)5]＝
131
243
，
∴该学生考上大学的概率为
131
243
．
（Ⅱ）记“该学生恰好经过4次测试考上大学”为事件B，记“该学生前4次都没有通过测试”为事件C，
则P（B）=C31×（
1
3
）2×（
2
3
）2=
4
27
，
P（C）=（
2
3
）4=
16
81
，
该生参加测试的次数为4，即B∪C，其概率P（B∪C）=
4
27
+
16
81
=
28
81
，
则该生参加测试的次数为4的概率为
28
81
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