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一、速度 1、公式：
a= vt=v0+at
反映出做匀变速直线运动的物体的瞬时速度如何随时间而变化
若v0=0,则：vt=at
2、图象（速度-时间图象）,见图1.
（1）vt=v0+at：v0、a为定值
t：自变量 vt：因变量
从表达式可知,vt是t的一次函数
（2）截距：v0；斜率：a
图2中, I 和 II 两个运动的初速度不同,其中 I 的初速度为0, II 的初速度不为零,但是两个运动的加速度相同（a1=a2）.运动 II I的初速度也不为0,但是加速度大于 I 和 II .
二、位移
1、公式：
S=v0t+at2
反映出做匀变速直线运动的物体的位移如何随时间而变化.
若v0=0,则：S=at2
2、图象
在匀速直线运动中,可用v-t图线与横轴所包围的面积,求出物体在一段时间内位移的大小.此种方法对匀变速直线运动同样适用.图1中阴影部分面积即为该运动经过时间t1的位移.根据几何关系也可以得到位移公式的证明.
例1、物体以v0冲上斜面（设斜面无限长）,到最高点速度为零,如图为物体的运动图象,据图象：
（1）物体做什么运动?
（2）若v0=10m/s,经t1=4s速度减为0,求物体的加速度a=? 此过程发生的位移S=?
（3）再回到出发点需要多长时间?
分析：
（1）
从0—t1物体做匀减速到零,单看回去的运动（t1～t2）是匀加速运动.从总体来看,这样的运动应该叫匀变速运动.
（2）
由公式a= ,可以求出a=－2.5m/s2
S=v0t+at2=10×4+ (-2.5)×42＝20m
（3）
物体再回到原位置,位移S=0,
S=0 v0t+ at2=0t=8s.通过分析,“8s”是符合题意的.
从图象来看,回到原点S=0,即时间轴上下两部分面积相等.从图中来看,两个三角形全等.也可以看出应该是8s.
例2、如图所示,分析：
（1）两个质点分别做什么运动?
（2）I、II质点运动的加速度分别多大?
（3）前4s两质点的位移分别为多大?
解析：
（1）v0=0的匀加速直线运动
（2）aI=5m/s2,aII=2.5m/s2
（3）SI=40m,SII=20m
注意：
1．aI比aII大一倍可以从两方面理
Ⅰ：相同的速度变化所用的时间差一半
Ⅱ：相同的时间内速度变化差一半
2．从图象看,位移为两个三角形的面积.
例3、一汽车上坡时以v=20m/s,遇到障碍刹车,加速度的大小为4m/s2,求汽车在6s内通过的位移为多少?（汽车距刹车点多远）
错
S=v0t+ at2=20×6+×（-4）×36＝48m
注意：
以上解法是错误的.原因是刹车过程的最后状态是停下来,即：vt＝0.这类题在解的过程中,应首先判断在所给时间内,物体是否停下来.如果物体没有停下来,所求过程为匀变速直线运动,直接代公式求解；如果已经停下来了,过程应该分为两部分：匀变速过程（停下来以前）和静止过程（停下来以后）,整个过程不再是匀变速直线运动.这种情况下,直接代公式就不行了.但是前一个过程还是匀变速,可以代公式求前一个过程的位移（注意这时所代时间不再是全部时间而是匀变速过程的时间）.我们又知道,后一个过程的位移为0,所以前一个过程的位移与整个过程的位移相同.
正确解法如下：
a= t=
即：第5s末汽车停止运动
所以：S=v0t+at2=20×5+ ×（-4）×25=50（m）
说明：
关键在于隐含条件vt＝0.可以参考图象理解.在第6秒,质点是静止的,而不是保持前面的加速度的运动（虚线）.
三、推论：
1、vt2-v02=2as
证明：
由 ,代入S=v0t+at2
有 vt2-v02=2as
2、匀变速直线运动,经初位置时的速度为v0,经末位置时的速度为vt,对所研究的一段时间而言
（1）平均速度：
vt=v0+at 代入S=v0t+ at2
有：S=v0t+
可得：
（2）分成前一半时间和后一半时间,中间时刻的即时速度
设C点为从A到B所用时间一半时的物体的位置,则：
即：做匀变速直线运动的物体,在某段时间内的平均速度在数值上等于其中间时刻的即时速度.
例4、一辆正在匀加速行驶的汽车在5s内先后经过路旁两个相距50m的电线杆.它经过第2根时的速度为15m/s,求它经过第1根电线杆的速度及行驶的加速度.
方法一：基本公式
设物体经过第1根电线杆时的速度为v1,加速度为a,由匀变速直线运动的规律可得：
v2=v1+at15=v1+5a ①
S=v1t+ at250=5v1+ a×52 ②
二式联立,可解得：v1=5m/s,a=2m/s2
方法二：平均速度
由 可得：
例5、一辆小车做匀加速直线运动,历时5s.已知小车前3s内的位移是7.2m,后3s内的位移为16.8m,试求小车的加速度及5s内的位移.
方法一：基本公式.
设物体运动的初速度为v0,加速度为a,则由位移公式有：
S1=v0t1+ at12 7.2=3v0+a×32 ①
对后3s,v1=v0+at=v0+3a ②
S2=v1t2+ at2216.8=3v1+ a×32 ③
三式联立可求得：v0=0 a=1.6m/s2
∴由S=at2有S = ×1.6×52=20（m）
方法二：据中间时刻的即时速度等于一段时间内的平均速度有：
v1..5=
v3. 5=
由加速度的定义可知：
同理可求v0=0,s=20m.
3、中点位置的即时速度
设C点为从A到B所通过的位移一半时物体的位置
已知：v0、vt求：
例6、如图所示,物体以4m/s的速度自斜面底端A点滑上光滑斜面,途经斜面中点C,到达斜面最高点B.已知vA:vC=4:3,从C到B点历时（3-）s,试求：
（1）到达斜面最高点的速度；
（2）斜面的长度
由已知可知,vA:vC=4:3vC=3m/s
∵C点为AB中点,∴vc=
vA2+vB2=2vC2 42+vB2=2×32
vB=m/s
由S=
斜面长度S=2SBC=7m
4、初速度为零的匀加速直线运动,将时间t等分
（1）1s内、2s内、3s内、……ns内物体的位移之比S1:S2:S3:…:Sn=1:4:9:…:n2
（2）第1s内、第2s内、第3s内、…第ns内的位移之比SI:SII:SIII:…:SN=1:3:5:…:(2n-1)
（3）第2s末、第2s末、第3s末、……第ns末的瞬时速度之比v1:v2:v3:…:vn=1:2:3:…:n
看下图可以帮助理解.也可以利用公式证明.
注意：
（1）如何描述这几个规律
（2）时间间隔可扩展到任意t秒
5、做匀变速直线运动的物体,在任意相邻相等时间间隔内的位移差是个恒量,△S=at2 匀变速直线运动：SI=S1 SII=S2-S1 SIII=S3-S2…
SI=S1=v0t+at2 SII=S2-S1=v0(2t)+ a(2t)2-(v0t+ at2)=v0t+ at2
SIII=S3-S2=v0(3t)+ a(3t)2-v0(2t)- a(2t2)=v0t+at2…
△S=SII-SI=SIII-SII=…=at2
做匀变速直线运动的物体,任意两个相等时间间隔M、N SM-SN=(M-N)at2
例7、一物体正在做匀变速直线运动,在第1s内和第3s内通过的路程分别为2m和4m,求：
（1）第2秒末的速度v2
（2）3s内的平均速度?
解析：
（1）
做匀变速直线运动的物体,任意两个相等时间间隔M、N
SM-SN=(M-N)at2
S3-S1=(3-1)×a×12=4-2
a=1m/s2
因为 S1＝2m 所以 v0. 5= S1/1s＝2m/s
又因为a=1m/s2,所以v0=1.5m/s,则v2=3.5m/s
（2）
同理知v3=4.5m/s,所以 ＝3m/s.
一、速度 1、公式：
a= vt=v0+at
反映出做匀变速直线运动的物体的瞬时速度如何随时间而变化
若v0=0,则：vt=at
2、图象（速度-时间图象）,见图1.
（1）vt=v0+at：v0、a为定值
t：自变量 vt：因变量
从表达式可知,vt是t的一次函数
（2）截距：v0；斜率：a
图2中, I 和 II 两个运动的初速度不同,其中 I 的初速度为0, II 的初速度不为零,但是两个运动的加速度相同（a1=a2）.运动 II I的初速度也不为0,但是加速度大于 I 和 II .
二、位移
1、公式：
S=v0t+at2
反映出做匀变速直线运动的物体的位移如何随时间而变化.
若v0=0,则：S=at2
2、图象
在匀速直线运动中,可用v-t图线与横轴所包围的面积,求出物体在一段时间内位移的大小.此种方法对匀变速直线运动同样适用.图1中阴影部分面积即为该运动经过时间t1的位移.根据几何关系也可以得到位移公式的证明.
例1、物体以v0冲上斜面（设斜面无限长）,到最高点速度为零,如图为物体的运动图象,据图象：
（1）物体做什么运动?
（2）若v0=10m/s,经t1=4s速度减为0,求物体的加速度a=? 此过程发生的位移S=?
（3）再回到出发点需要多长时间?
分析：
（1）
从0—t1物体做匀减速到零,单看回去的运动（t1～t2）是匀加速运动.从总体来看,这样的运动应该叫匀变速运动.
（2）
由公式a= ,可以求出a=－2.5m/s2
S=v0t+at2=10×4+ (-2.5)×42＝20m
（3）
物体再回到原位置,位移S=0,
S=0 v0t+ at2=0t=8s.通过分析,“8s”是符合题意的.
从图象来看,回到原点S=0,即时间轴上下两部分面积相等.从图中来看,两个三角形全等.也可以看出应该是8s.
例2、如图所示,分析：
（1）两个质点分别做什么运动?
（2）I、II质点运动的加速度分别多大?
（3）前4s两质点的位移分别为多大?
解析：
（1）v0=0的匀加速直线运动
（2）aI=5m/s2,aII=2.5m/s2
（3）SI=40m,SII=20m
注意：
1．aI比aII大一倍可以从两方面理
Ⅰ：相同的速度变化所用的时间差一半
Ⅱ：相同的时间内速度变化差一半
2．从图象看,位移为两个三角形的面积.
例3、一汽车上坡时以v=20m/s,遇到障碍刹车,加速度的大小为4m/s2,求汽车在6s内通过的位移为多少?（汽车距刹车点多远）
错
S=v0t+ at2=20×6+×（-4）×36＝48m
注意：
以上解法是错误的.原因是刹车过程的最后状态是停下来,即：vt＝0.这类题在解的过程中,应首先判断在所给时间内,物体是否停下来.如果物体没有停下来,所求过程为匀变速直线运动,直接代公式求解；如果已经停下来了,过程应该分为两部分：匀变速过程（停下来以前）和静止过程（停下来以后）,整个过程不再是匀变速直线运动.这种情况下,直接代公式就不行了.但是前一个过程还是匀变速,可以代公式求前一个过程的位移（注意这时所代时间不再是全部时间而是匀变速过程的时间）.我们又知道,后一个过程的位移为0,所以前一个过程的位移与整个过程的位移相同.
正确解法如下：
a= t=
即：第5s末汽车停止运动
所以：S=v0t+at2=20×5+ ×（-4）×25=50（m）
说明：
关键在于隐含条件vt＝0.可以参考图象理解.在第6秒,质点是静止的,而不是保持前面的加速度的运动（虚线）.
三、推论：
1、vt2-v02=2as
证明：
由 ,代入S=v0t+at2
有 vt2-v02=2as
2、匀变速直线运动,经初位置时的速度为v0,经末位置时的速度为vt,对所研究的一段时间而言
（1）平均速度：
vt=v0+at 代入S=v0t+ at2
有：S=v0t+
可得：
（2）分成前一半时间和后一半时间,中间时刻的即时速度
设C点为从A到B所用时间一半时的物体的位置,则：
即：做匀变速直线运动的物体,在某段时间内的平均速度在数值上等于其中间时刻的即时速度.
例4、一辆正在匀加速行驶的汽车在5s内先后经过路旁两个相距50m的电线杆.它经过第2根时的速度为15m/s,求它经过第1根电线杆的速度及行驶的加速度.
方法一：基本公式
设物体经过第1根电线杆时的速度为v1,加速度为a,由匀变速直线运动的规律可得：
v2=v1+at15=v1+5a ①
S=v1t+ at250=5v1+ a×52 ②
二式联立,可解得：v1=5m/s,a=2m/s2
方法二：平均速度
由 可得：
例5、一辆小车做匀加速直线运动,历时5s.已知小车前3s内的位移是7.2m,后3s内的位移为16.8m,试求小车的加速度及5s内的位移.
方法一：基本公式.
设物体运动的初速度为v0,加速度为a,则由位移公式有：
S1=v0t1+ at12 7.2=3v0+a×32 ①
对后3s,v1=v0+at=v0+3a ②
S2=v1t2+ at2216.8=3v1+ a×32 ③
三式联立可求得：v0=0 a=1.6m/s2
∴由S=at2有S = ×1.6×52=20（m）
方法二：据中间时刻的即时速度等于一段时间内的平均速度有：
v1..5=
v3. 5=
由加速度的定义可知：
同理可求v0=0,s=20m.
3、中点位置的即时速度
设C点为从A到B所通过的位移一半时物体的位置
已知：v0、vt求：
例6、如图所示,物体以4m/s的速度自斜面底端A点滑上光滑斜面,途经斜面中点C,到达斜面最高点B.已知vA:vC=4:3,从C到B点历时（3-）s,试求：
（1）到达斜面最高点的速度；
（2）斜面的长度
由已知可知,vA:vC=4:3vC=3m/s
∵C点为AB中点,∴vc=
vA2+vB2=2vC2 42+vB2=2×32
vB=m/s
由S=
斜面长度S=2SBC=7m
4、初速度为零的匀加速直线运动,将时间t等分
（1）1s内、2s内、3s内、……ns内物体的位移之比S1:S2:S3:…:Sn=1:4:9:…:n2
（2）第1s内、第2s内、第3s内、…第ns内的位移之比SI:SII:SIII:…:SN=1:3:5:…:(2n-1)
（3）第2s末、第2s末、第3s末、……第ns末的瞬时速度之比v1:v2:v3:…:vn=1:2:3:…:n
看下图可以帮助理解.也可以利用公式证明.
注意：
（1）如何描述这几个规律
（2）时间间隔可扩展到任意t秒
5、做匀变速直线运动的物体,在任意相邻相等时间间隔内的位移差是个恒量,△S=at2 匀变速直线运动：SI=S1 SII=S2-S1 SIII=S3-S2…
SI=S1=v0t+at2 SII=S2-S1=v0(2t)+ a(2t)2-(v0t+ at2)=v0t+ at2
SIII=S3-S2=v0(3t)+ a(3t)2-v0(2t)- a(2t2)=v0t+at2…
△S=SII-SI=SIII-SII=…=at2
做匀变速直线运动的物体,任意两个相等时间间隔M、N SM-SN=(M-N)at2
例7、一物体正在做匀变速直线运动,在第1s内和第3s内通过的路程分别为2m和4m,求：
（1）第2秒末的速度v2
（2）3s内的平均速度?
解析：
（1）
做匀变速直线运动的物体,任意两个相等时间间隔M、N
SM-SN=(M-N)at2
S3-S1=(3-1)×a×12=4-2
a=1m/s2
因为 S1＝2m 所以 v0. 5= S1/1s＝2m/s
又因为a=1m/s2,所以v0=1.5m/s,则v2=3.5m/s
（2）
同理知v3=4.5m/s,所以 ＝3m/s.