为什么实系数的一元二次方程可用求根公式,而复数系数就不能用求根公式
2019-05-27
为什么实系数的一元二次方程可用求根公式,而复数系数就不能用求根公式
优质解答
因为复系数的方程中判别式b^2-4ac可能是复数,在求根时一定要进行开方这一步；而复数开方,至少对于高中生来说,是一件非常麻烦的事情.所以用求根公式去解复系数方程是很困难的,而不是不能解.
而且,对于任意一个二次方程,一定可以用配方法将其变形为(x-z1)^2=z2（z1、z2是复数）的形式,接下来只要对z2开方就可以解下去了——只要能对z2开方——这不就是求根公式换了个写法嘛.
例：x^2-(4+2i)x-1+i=0
配方后得到(x-(2+i))^2=4+3i
因此x=2+i+(4+3i)^0.5.
关键是——(4+3i)^0.5等于什么?
如果学过复数的三角形式开方的话,当然可以花一点时间,求出来如下结果（为书写简便,用m代替根号2）：
(4+3i)^0.5=(3+i)/m或-(3+i)/m（可以进行平方以验证,注意到复数是没有算术根这一说的,所以有正负）.
所以最后的解就是x=2+i+(3+i)/m或x=2+i-(3+i)/m.
如果用求根公式呢?
判别式等于(4+2i)^2-4(-1+i)=16+12i=4(4+3i),
所以x=(4+2i+(4(4+3i))^0.5)/2
=2+i+(4+3i)^0.5.
后面就跟刚才一样了,没有区别.
但是如果没学过复数的开方,就在4+3i那里卡住了,做不下去了.
另外,因为复数开方时自动带上正负号,所以也就不用在公式中写加减,直接写加号就行.
就是这样.
因为复系数的方程中判别式b^2-4ac可能是复数,在求根时一定要进行开方这一步；而复数开方,至少对于高中生来说,是一件非常麻烦的事情.所以用求根公式去解复系数方程是很困难的,而不是不能解.
而且,对于任意一个二次方程,一定可以用配方法将其变形为(x-z1)^2=z2（z1、z2是复数）的形式,接下来只要对z2开方就可以解下去了——只要能对z2开方——这不就是求根公式换了个写法嘛.
例：x^2-(4+2i)x-1+i=0
配方后得到(x-(2+i))^2=4+3i
因此x=2+i+(4+3i)^0.5.
关键是——(4+3i)^0.5等于什么?
如果学过复数的三角形式开方的话,当然可以花一点时间,求出来如下结果（为书写简便,用m代替根号2）：
(4+3i)^0.5=(3+i)/m或-(3+i)/m（可以进行平方以验证,注意到复数是没有算术根这一说的,所以有正负）.
所以最后的解就是x=2+i+(3+i)/m或x=2+i-(3+i)/m.
如果用求根公式呢?
判别式等于(4+2i)^2-4(-1+i)=16+12i=4(4+3i),
所以x=(4+2i+(4(4+3i))^0.5)/2
=2+i+(4+3i)^0.5.
后面就跟刚才一样了,没有区别.
但是如果没学过复数的开方,就在4+3i那里卡住了,做不下去了.
另外,因为复数开方时自动带上正负号,所以也就不用在公式中写加减,直接写加号就行.
就是这样.