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第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集
2..集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3..集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法.
①列举法:{a,b,c……} 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…
②描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
③语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
数学式子描述法:具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},…;
例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z.
辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R}也是错误的.
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.
④ Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
即:① 任何一个集合是它本身的子集.AA
3.真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
任何一个集合都是它本身的子集,但一定不是它本身的真子集
4.. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集.
⑴有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有 个非空真子集
⑵设A B C 三个集合中元素个数分别为 m x n (m x n都是真正数且m B C A 则C的个数为 个
B C A 或A C B则C的个数为 -1个
B C A则C的个数为 -2个
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作: CSA 即 CSA ={x xS且 xA}
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作 ,即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.
第二章 函数
指数与对数运算
一.分数指数幂与根式:
如果 ,则称 是 的 次方根, 的 次方根为0,若 ,则当 为奇数时, 的 次方根有1个,记做 ;当 为偶数时,负数没有 次方根,正数 的 次方根有2个,其中正的 次方根记做 .负的 次方根记做 .
1.负数没有偶次方根;
2.两个关系式: ;
3、正数的正分数指数幂的意义: ;
正数的负分数指数幂的意义: .
4、分数指数幂的运算性质:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ ;
⑸ ,其中 、 均为有理数, , 均为正整数
二.对数及其运算
1.定义:若 ,且 , ,则 .
2.两个对数:
⑴ 常用对数: , ;
⑵ 自然对数: , .
3.三条性质:
⑴ 1的对数是0,即 ;
⑵ 底数的对数是1,即 ;
⑶ 负数和零没有对数.
4.四条运算法则:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ .
5.其他运算性质:
⑴ 对数恒等式: ;
⑵ 换底公式: ;
⑶ ; ;
⑷ .
函数的概念
一.映射:设A、B两个集合,如果按照某中对应法则 ,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.
二.函数:在某种变化过程中的两个变量 、 ,对于 在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则, 都有唯一确定的值和它对应,则称 是 的函数,记做 ,其中 称为自变量, 变化的范围叫做函数的定义域,和 对应的 的值叫做函数值,函数值 的变化范围叫做函数的值域.
三.函数 是由非空数集 到非空数集B的映射.
四.函数的三要素:解析式;定义域;值域.
函数的解析式
一.根据对应法则的意义求函数的解析式;
例如:已知 ,求函数 的解析式.
二.已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式;
例如:已知 是一次函数,且 ,函数 的解析式.
三.由函数 的图像受制约的条件,进而求 的解析式.
函数的定义域
一.根据给出函数的解析式求定义域:
⑴ 整式:
⑵ 分式:分母不等于0
⑶ 偶次根式:被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂:底数不等于0
⑸ 对数:底数大于0,且不等于1,真数大于0
二.根据对应法则的意义求函数的定义域:
例如:已知 定义域为 ,求 定义域;
已知 定义域为 ,求 定义域;
三.实际问题中,根据自变量的实际意义决定的定义域.
函数的值域
一.基本函数的值域问题:
名称 解析式 值域
一次函数
二次函数
时,
时,
反比例函数
,且
指数函数
对数函数
三角函数
二.求函数值域(最值)的常用方法:函数的值域决定于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征,常用解法有:观察法、配方法、换元法(代数换元与三角换元)、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等.
反函数
一.反函数:设函数 的值域是 ,根据这个函数中 , 的关系,用 把 表示出,得到 .若对于 中的每一 值,通过 ,都有唯一的一个 与之对应,那么, 就表示 是自变量, 是自变量 的函数,这样的函数 叫做函数 的反函数,记作 ,习惯上改写成 .
二.函数 存在反函数的条件是: 、 一一对应.
三.求函数 的反函数的方法:
⑴ 求原函数的值域,即反函数的定义域
⑵ 反解,用 表示 ,得
⑶ 交换 、 ,得
⑷ 结论,表明定义域
四.函数 与其反函数 的关系:
⑴ 函数 与 的定义域与值域互换.
⑵ 若 图像上存在点 ,则 的图像上必有点 ,即若 ,则 .
⑶ 函数 与 的图像关于直线 对称.
函数的奇偶性:
一.定义:对于函数 定义域中的任意一个 ,如果满足 ,则称函数 为奇函数;如果满足 ,则称函数 为偶函数.
二.判断函数 奇偶性的步骤:
1.判断函数 的定义域是否关于原点对称,如果对称可进一步验证,如果不对称;
2.验证 与 的关系,若满足 ,则为奇函数,若满足 ,则为偶函数,否则既不是奇函数,也不是偶函数.
二.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
三.已知 、 分别是定义在区间 、 上的奇(偶)函数,分别根据条件判断下列函数的奇偶性.
奇 奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 奇
偶 奇 偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶
五.若奇函数 的定义域包含 ,则 .
六.一次函数 是奇函数的充要条件是 ;
二次函数 是偶函数的充要条件是 .
函数的周期性:
一.定义:对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当 取定义域内的每一个值时,都有 ,则 为周期函数, 为这个函数的一个周期.
2.如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.如果函数 的最小正周期为 ,则函数 的最小正周期为 .
函数的单调性
一.定义:一般的,对于给定区间上的函数 ,如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 , ,当 时满足:
⑴ ,则称函数 在该区间上是增函数;
⑵ ,则称函数 在该区间上是减函数.
二.判断函数单调性的常用方法:
1.定义法:
⑴ 取值; ⑵ 作差、变形; ⑶ 判断: ⑷ 定论:
*2.导数法:
⑴ 求函数f(x)的导数 ;
⑵ 解不等式 ,所得x的范围就是递增区间;
⑶ 解不等式 ,所得x的范围就是递减区间.
3.复合函数的单调性:
对于复合函数 ,设 ,则 ,可根据它们的单调性确定复合函数 ,具体判断如下表:
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
4.奇函数在对称区间上的单调性相反;偶函数在对称区间上的单调性相同.
函数的图像
一.基本函数的图像.
二.图像变换:
将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单位,可得 的图像
将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单位,可得 的图像
将 图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸 或压缩 为原来的 倍,可得 的图像
将 图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩 或拉伸 为原来的 ,可得 的图像
关于 轴对称
关于 轴对称
将 位于 轴左侧的图像去掉,再将 轴右侧的图像沿 轴对称到左侧,可得 的图像
将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方,可得 的图像
三.函数图像自身的对称
关系 图像特征
关于 轴对称
关于原点对称
关于 轴对称
关于直线 对称
关于直线 轴对称
关于直线 对称
周期函数,周期为
四.两个函数图像的对称
关系 图像特征
与
关于 轴对称
与
关于 轴对称
与
关于原点对称
与
关于直线 对称
与
关于直线 对称
与
关于 轴对称
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集
2..集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3..集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA
注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法.
①列举法:{a,b,c……} 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…
②描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
③语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
数学式子描述法:具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},…;
例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z.
辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R}也是错误的.
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.
④ Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
即:① 任何一个集合是它本身的子集.AA
3.真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
任何一个集合都是它本身的子集,但一定不是它本身的真子集
4.. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集.
⑴有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有 个非空真子集
⑵设A B C 三个集合中元素个数分别为 m x n (m x n都是真正数且m B C A 则C的个数为 个
B C A 或A C B则C的个数为 -1个
B C A则C的个数为 -2个
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作: CSA 即 CSA ={x xS且 xA}
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作 ,即
CSA=
韦
恩
图
示
性
质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.
第二章 函数
指数与对数运算
一.分数指数幂与根式:
如果 ,则称 是 的 次方根, 的 次方根为0,若 ,则当 为奇数时, 的 次方根有1个,记做 ;当 为偶数时,负数没有 次方根,正数 的 次方根有2个,其中正的 次方根记做 .负的 次方根记做 .
1.负数没有偶次方根;
2.两个关系式: ;
3、正数的正分数指数幂的意义: ;
正数的负分数指数幂的意义: .
4、分数指数幂的运算性质:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ ;
⑸ ,其中 、 均为有理数, , 均为正整数
二.对数及其运算
1.定义:若 ,且 , ,则 .
2.两个对数:
⑴ 常用对数: , ;
⑵ 自然对数: , .
3.三条性质:
⑴ 1的对数是0,即 ;
⑵ 底数的对数是1,即 ;
⑶ 负数和零没有对数.
4.四条运算法则:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ .
5.其他运算性质:
⑴ 对数恒等式: ;
⑵ 换底公式: ;
⑶ ; ;
⑷ .
函数的概念
一.映射:设A、B两个集合,如果按照某中对应法则 ,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.
二.函数:在某种变化过程中的两个变量 、 ,对于 在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则, 都有唯一确定的值和它对应,则称 是 的函数,记做 ,其中 称为自变量, 变化的范围叫做函数的定义域,和 对应的 的值叫做函数值,函数值 的变化范围叫做函数的值域.
三.函数 是由非空数集 到非空数集B的映射.
四.函数的三要素:解析式;定义域;值域.
函数的解析式
一.根据对应法则的意义求函数的解析式;
例如:已知 ,求函数 的解析式.
二.已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式;
例如:已知 是一次函数,且 ,函数 的解析式.
三.由函数 的图像受制约的条件,进而求 的解析式.
函数的定义域
一.根据给出函数的解析式求定义域:
⑴ 整式:
⑵ 分式:分母不等于0
⑶ 偶次根式:被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂:底数不等于0
⑸ 对数:底数大于0,且不等于1,真数大于0
二.根据对应法则的意义求函数的定义域:
例如:已知 定义域为 ,求 定义域;
已知 定义域为 ,求 定义域;
三.实际问题中,根据自变量的实际意义决定的定义域.
函数的值域
一.基本函数的值域问题:
名称 解析式 值域
一次函数
二次函数
时,
时,
反比例函数
,且
指数函数
对数函数
三角函数
二.求函数值域(最值)的常用方法:函数的值域决定于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征,常用解法有:观察法、配方法、换元法(代数换元与三角换元)、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等.
反函数
一.反函数:设函数 的值域是 ,根据这个函数中 , 的关系,用 把 表示出,得到 .若对于 中的每一 值,通过 ,都有唯一的一个 与之对应,那么, 就表示 是自变量, 是自变量 的函数,这样的函数 叫做函数 的反函数,记作 ,习惯上改写成 .
二.函数 存在反函数的条件是: 、 一一对应.
三.求函数 的反函数的方法:
⑴ 求原函数的值域,即反函数的定义域
⑵ 反解,用 表示 ,得
⑶ 交换 、 ,得
⑷ 结论,表明定义域
四.函数 与其反函数 的关系:
⑴ 函数 与 的定义域与值域互换.
⑵ 若 图像上存在点 ,则 的图像上必有点 ,即若 ,则 .
⑶ 函数 与 的图像关于直线 对称.
函数的奇偶性:
一.定义:对于函数 定义域中的任意一个 ,如果满足 ,则称函数 为奇函数;如果满足 ,则称函数 为偶函数.
二.判断函数 奇偶性的步骤:
1.判断函数 的定义域是否关于原点对称,如果对称可进一步验证,如果不对称;
2.验证 与 的关系,若满足 ,则为奇函数,若满足 ,则为偶函数,否则既不是奇函数,也不是偶函数.
二.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
三.已知 、 分别是定义在区间 、 上的奇(偶)函数,分别根据条件判断下列函数的奇偶性.
奇 奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 奇
偶 奇 偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶
五.若奇函数 的定义域包含 ,则 .
六.一次函数 是奇函数的充要条件是 ;
二次函数 是偶函数的充要条件是 .
函数的周期性:
一.定义:对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当 取定义域内的每一个值时,都有 ,则 为周期函数, 为这个函数的一个周期.
2.如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.如果函数 的最小正周期为 ,则函数 的最小正周期为 .
函数的单调性
一.定义:一般的,对于给定区间上的函数 ,如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 , ,当 时满足:
⑴ ,则称函数 在该区间上是增函数;
⑵ ,则称函数 在该区间上是减函数.
二.判断函数单调性的常用方法:
1.定义法:
⑴ 取值; ⑵ 作差、变形; ⑶ 判断: ⑷ 定论:
*2.导数法:
⑴ 求函数f(x)的导数 ;
⑵ 解不等式 ,所得x的范围就是递增区间;
⑶ 解不等式 ,所得x的范围就是递减区间.
3.复合函数的单调性:
对于复合函数 ,设 ,则 ,可根据它们的单调性确定复合函数 ,具体判断如下表:
增 增 减 减
增 减 增 减
增 减 减 增
4.奇函数在对称区间上的单调性相反;偶函数在对称区间上的单调性相同.
函数的图像
一.基本函数的图像.
二.图像变换:
将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单位,可得 的图像
将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单位,可得 的图像
将 图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸 或压缩 为原来的 倍,可得 的图像
将 图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩 或拉伸 为原来的 ,可得 的图像
关于 轴对称
关于 轴对称
将 位于 轴左侧的图像去掉,再将 轴右侧的图像沿 轴对称到左侧,可得 的图像
将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方,可得 的图像
三.函数图像自身的对称
关系 图像特征
关于 轴对称
关于原点对称
关于 轴对称
关于直线 对称
关于直线 轴对称
关于直线 对称
周期函数,周期为
四.两个函数图像的对称
关系 图像特征
与
关于 轴对称
与
关于 轴对称
与
关于原点对称
与
关于直线 对称
与
关于直线 对称
与
关于 轴对称