数学
高中数学必修一每一章的知识点与公式概括多

2019-05-02

高中数学必修一每一章的知识点与公式
概括多
优质解答
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集
2..集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3..集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA
 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法.
①列举法:{a,b,c……} 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…
②描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
③语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
数学式子描述法:具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},…;
例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z.
辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R}也是错误的.
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.
④ Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
即:① 任何一个集合是它本身的子集.AA
3.真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
任何一个集合都是它本身的子集,但一定不是它本身的真子集
4.. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集.
⑴有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有 个非空真子集
⑵设A B C 三个集合中元素个数分别为 m x n (m x n都是真正数且m B  C  A 则C的个数为 个
B C  A 或A C  B则C的个数为 -1个
B C A则C的个数为 -2个
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作: CSA 即 CSA ={x  xS且 xA}
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作 ,即
CSA=





质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.
第二章 函数
指数与对数运算
一.分数指数幂与根式:
如果 ,则称 是 的 次方根, 的 次方根为0,若 ,则当 为奇数时, 的 次方根有1个,记做 ;当 为偶数时,负数没有 次方根,正数 的 次方根有2个,其中正的 次方根记做 .负的 次方根记做 .
1.负数没有偶次方根;
2.两个关系式: ;
3、正数的正分数指数幂的意义: ;
正数的负分数指数幂的意义: .
4、分数指数幂的运算性质:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ ;
⑸ ,其中 、 均为有理数, , 均为正整数
二.对数及其运算
1.定义:若 ,且 , ,则 .
2.两个对数:
⑴ 常用对数: , ;
⑵ 自然对数: , .
3.三条性质:
⑴ 1的对数是0,即 ;
⑵ 底数的对数是1,即 ;
⑶ 负数和零没有对数.
4.四条运算法则:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ .
5.其他运算性质:
⑴ 对数恒等式: ;
⑵ 换底公式: ;
⑶ ; ;
⑷ .
函数的概念
一.映射:设A、B两个集合,如果按照某中对应法则 ,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.
二.函数:在某种变化过程中的两个变量 、 ,对于 在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则, 都有唯一确定的值和它对应,则称 是 的函数,记做 ,其中 称为自变量, 变化的范围叫做函数的定义域,和 对应的 的值叫做函数值,函数值 的变化范围叫做函数的值域.
三.函数 是由非空数集 到非空数集B的映射.
四.函数的三要素:解析式;定义域;值域.
函数的解析式
一.根据对应法则的意义求函数的解析式;
例如:已知 ,求函数 的解析式.
二.已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式;
例如:已知 是一次函数,且 ,函数 的解析式.
三.由函数 的图像受制约的条件,进而求 的解析式.
函数的定义域
一.根据给出函数的解析式求定义域:
⑴ 整式:
⑵ 分式:分母不等于0
⑶ 偶次根式:被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂:底数不等于0
⑸ 对数:底数大于0,且不等于1,真数大于0
二.根据对应法则的意义求函数的定义域:
例如:已知 定义域为 ,求 定义域;
已知 定义域为 ,求 定义域;
三.实际问题中,根据自变量的实际意义决定的定义域.
函数的值域
一.基本函数的值域问题:
名称 解析式 值域
一次函数

二次函数
时,
时,
反比例函数
,且
指数函数

对数函数

三角函数




二.求函数值域(最值)的常用方法:函数的值域决定于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征,常用解法有:观察法、配方法、换元法(代数换元与三角换元)、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等.
反函数
一.反函数:设函数 的值域是 ,根据这个函数中 , 的关系,用 把 表示出,得到 .若对于 中的每一 值,通过 ,都有唯一的一个 与之对应,那么, 就表示 是自变量, 是自变量 的函数,这样的函数 叫做函数 的反函数,记作 ,习惯上改写成 .
二.函数 存在反函数的条件是: 、 一一对应.
三.求函数 的反函数的方法:
⑴ 求原函数的值域,即反函数的定义域
⑵ 反解,用 表示 ,得
⑶ 交换 、 ,得
⑷ 结论,表明定义域
四.函数 与其反函数 的关系:
⑴ 函数 与 的定义域与值域互换.
⑵ 若 图像上存在点 ,则 的图像上必有点 ,即若 ,则 .
⑶ 函数 与 的图像关于直线 对称.
函数的奇偶性:
一.定义:对于函数 定义域中的任意一个 ,如果满足 ,则称函数 为奇函数;如果满足 ,则称函数 为偶函数.
二.判断函数 奇偶性的步骤:
1.判断函数 的定义域是否关于原点对称,如果对称可进一步验证,如果不对称;
2.验证 与 的关系,若满足 ,则为奇函数,若满足 ,则为偶函数,否则既不是奇函数,也不是偶函数.
二.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
三.已知 、 分别是定义在区间 、 上的奇(偶)函数,分别根据条件判断下列函数的奇偶性.







奇 奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 奇
偶 奇 偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶
五.若奇函数 的定义域包含 ,则 .
六.一次函数 是奇函数的充要条件是 ;
二次函数 是偶函数的充要条件是 .
函数的周期性:
一.定义:对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当 取定义域内的每一个值时,都有 ,则 为周期函数, 为这个函数的一个周期.
2.如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.如果函数 的最小正周期为 ,则函数 的最小正周期为 .
函数的单调性
一.定义:一般的,对于给定区间上的函数 ,如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 , ,当 时满足:
⑴ ,则称函数 在该区间上是增函数;
⑵ ,则称函数 在该区间上是减函数.
二.判断函数单调性的常用方法:
1.定义法:
⑴ 取值; ⑵ 作差、变形; ⑶ 判断: ⑷ 定论:
*2.导数法:
⑴ 求函数f(x)的导数 ;
⑵ 解不等式 ,所得x的范围就是递增区间;
⑶ 解不等式 ,所得x的范围就是递减区间.
3.复合函数的单调性:
对于复合函数 ,设 ,则 ,可根据它们的单调性确定复合函数 ,具体判断如下表:

增 增 减 减

增 减 增 减

增 减 减 增
4.奇函数在对称区间上的单调性相反;偶函数在对称区间上的单调性相同.
函数的图像
一.基本函数的图像.
二.图像变换:

将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单位,可得 的图像

将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单位,可得 的图像

将 图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸 或压缩 为原来的 倍,可得 的图像

将 图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩 或拉伸 为原来的 ,可得 的图像

关于 轴对称

关于 轴对称

将 位于 轴左侧的图像去掉,再将 轴右侧的图像沿 轴对称到左侧,可得 的图像

将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方,可得 的图像
三.函数图像自身的对称
关系 图像特征

关于 轴对称

关于原点对称

关于 轴对称

关于直线 对称

关于直线 轴对称

关于直线 对称

周期函数,周期为
四.两个函数图像的对称
关系 图像特征

关于 轴对称

关于 轴对称

关于原点对称

关于直线 对称

关于直线 对称

关于 轴对称
第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集
2..集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素.
(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素.
(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样.
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性.
3..集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 aA
 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+
整数集Z
有理数集Q
实数集R
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法.
①列举法:{a,b,c……} 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上.{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…
②描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
③语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
数学式子描述法:具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},…;
例:不等式x-3>2的解集是{xR| x-3>2}或{x| x-3>2}
强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z.
辨析:这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集},{R}也是错误的.
说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法.
④ Venn图:
4、集合的分类:
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合.
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即:A=B
即:① 任何一个集合是它本身的子集.AA
3.真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
任何一个集合都是它本身的子集,但一定不是它本身的真子集
4.. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:
空集是任何集合的子集,
空集是任何非空集合的真子集.
⑴有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有 个非空真子集
⑵设A B C 三个集合中元素个数分别为 m x n (m x n都是真正数且m B  C  A 则C的个数为 个
B C  A 或A C  B则C的个数为 -1个
B C A则C的个数为 -2个
三、集合的运算
1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,
A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
4、全集与补集
(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即 ),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作: CSA 即 CSA ={x  xS且 xA}
(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示.
(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U
、集合的运算
运算类型 交 集 并 集 补 集
定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).
设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
记作 ,即
CSA=





质 A A=A
A Φ=Φ
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A Φ=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= Φ.
第二章 函数
指数与对数运算
一.分数指数幂与根式:
如果 ,则称 是 的 次方根, 的 次方根为0,若 ,则当 为奇数时, 的 次方根有1个,记做 ;当 为偶数时,负数没有 次方根,正数 的 次方根有2个,其中正的 次方根记做 .负的 次方根记做 .
1.负数没有偶次方根;
2.两个关系式: ;
3、正数的正分数指数幂的意义: ;
正数的负分数指数幂的意义: .
4、分数指数幂的运算性质:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ ;
⑸ ,其中 、 均为有理数, , 均为正整数
二.对数及其运算
1.定义:若 ,且 , ,则 .
2.两个对数:
⑴ 常用对数: , ;
⑵ 自然对数: , .
3.三条性质:
⑴ 1的对数是0,即 ;
⑵ 底数的对数是1,即 ;
⑶ 负数和零没有对数.
4.四条运算法则:
⑴ ; ⑵ ;
⑶ ; ⑷ .
5.其他运算性质:
⑴ 对数恒等式: ;
⑵ 换底公式: ;
⑶ ; ;
⑷ .
函数的概念
一.映射:设A、B两个集合,如果按照某中对应法则 ,对于集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的一个元素与之对应,这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.
二.函数:在某种变化过程中的两个变量 、 ,对于 在某个范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则, 都有唯一确定的值和它对应,则称 是 的函数,记做 ,其中 称为自变量, 变化的范围叫做函数的定义域,和 对应的 的值叫做函数值,函数值 的变化范围叫做函数的值域.
三.函数 是由非空数集 到非空数集B的映射.
四.函数的三要素:解析式;定义域;值域.
函数的解析式
一.根据对应法则的意义求函数的解析式;
例如:已知 ,求函数 的解析式.
二.已知函数的解析式一般形式,求函数的解析式;
例如:已知 是一次函数,且 ,函数 的解析式.
三.由函数 的图像受制约的条件,进而求 的解析式.
函数的定义域
一.根据给出函数的解析式求定义域:
⑴ 整式:
⑵ 分式:分母不等于0
⑶ 偶次根式:被开方数大于或等于0
⑷ 含0次幂、负指数幂:底数不等于0
⑸ 对数:底数大于0,且不等于1,真数大于0
二.根据对应法则的意义求函数的定义域:
例如:已知 定义域为 ,求 定义域;
已知 定义域为 ,求 定义域;
三.实际问题中,根据自变量的实际意义决定的定义域.
函数的值域
一.基本函数的值域问题:
名称 解析式 值域
一次函数

二次函数
时,
时,
反比例函数
,且
指数函数

对数函数

三角函数




二.求函数值域(最值)的常用方法:函数的值域决定于函数的解析式和定义域,因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征,常用解法有:观察法、配方法、换元法(代数换元与三角换元)、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*几何构造法和*导数法等.
反函数
一.反函数:设函数 的值域是 ,根据这个函数中 , 的关系,用 把 表示出,得到 .若对于 中的每一 值,通过 ,都有唯一的一个 与之对应,那么, 就表示 是自变量, 是自变量 的函数,这样的函数 叫做函数 的反函数,记作 ,习惯上改写成 .
二.函数 存在反函数的条件是: 、 一一对应.
三.求函数 的反函数的方法:
⑴ 求原函数的值域,即反函数的定义域
⑵ 反解,用 表示 ,得
⑶ 交换 、 ,得
⑷ 结论,表明定义域
四.函数 与其反函数 的关系:
⑴ 函数 与 的定义域与值域互换.
⑵ 若 图像上存在点 ,则 的图像上必有点 ,即若 ,则 .
⑶ 函数 与 的图像关于直线 对称.
函数的奇偶性:
一.定义:对于函数 定义域中的任意一个 ,如果满足 ,则称函数 为奇函数;如果满足 ,则称函数 为偶函数.
二.判断函数 奇偶性的步骤:
1.判断函数 的定义域是否关于原点对称,如果对称可进一步验证,如果不对称;
2.验证 与 的关系,若满足 ,则为奇函数,若满足 ,则为偶函数,否则既不是奇函数,也不是偶函数.
二.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
三.已知 、 分别是定义在区间 、 上的奇(偶)函数,分别根据条件判断下列函数的奇偶性.







奇 奇 奇 奇 奇 偶
奇 偶 奇
偶 奇 偶 奇
偶 偶 偶 偶 偶
五.若奇函数 的定义域包含 ,则 .
六.一次函数 是奇函数的充要条件是 ;
二次函数 是偶函数的充要条件是 .
函数的周期性:
一.定义:对于函数 ,如果存在一个非零常数 ,使得当 取定义域内的每一个值时,都有 ,则 为周期函数, 为这个函数的一个周期.
2.如果函数 所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.如果函数 的最小正周期为 ,则函数 的最小正周期为 .
函数的单调性
一.定义:一般的,对于给定区间上的函数 ,如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值 , ,当 时满足:
⑴ ,则称函数 在该区间上是增函数;
⑵ ,则称函数 在该区间上是减函数.
二.判断函数单调性的常用方法:
1.定义法:
⑴ 取值; ⑵ 作差、变形; ⑶ 判断: ⑷ 定论:
*2.导数法:
⑴ 求函数f(x)的导数 ;
⑵ 解不等式 ,所得x的范围就是递增区间;
⑶ 解不等式 ,所得x的范围就是递减区间.
3.复合函数的单调性:
对于复合函数 ,设 ,则 ,可根据它们的单调性确定复合函数 ,具体判断如下表:

增 增 减 减

增 减 增 减

增 减 减 增
4.奇函数在对称区间上的单调性相反;偶函数在对称区间上的单调性相同.
函数的图像
一.基本函数的图像.
二.图像变换:

将 图像上每一点向上 或向下 平移 个单位,可得 的图像

将 图像上每一点向左 或向右 平移 个单位,可得 的图像

将 图像上的每一点横坐标保持不变,纵坐标拉伸 或压缩 为原来的 倍,可得 的图像

将 图像上的每一点纵横坐标保持不变,横坐标压缩 或拉伸 为原来的 ,可得 的图像

关于 轴对称

关于 轴对称

将 位于 轴左侧的图像去掉,再将 轴右侧的图像沿 轴对称到左侧,可得 的图像

将 位于 轴下方的部分沿 轴对称到上方,可得 的图像
三.函数图像自身的对称
关系 图像特征

关于 轴对称

关于原点对称

关于 轴对称

关于直线 对称

关于直线 轴对称

关于直线 对称

周期函数,周期为
四.两个函数图像的对称
关系 图像特征

关于 轴对称

关于 轴对称

关于原点对称

关于直线 对称

关于直线 对称

关于 轴对称
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