例1. 已知：如图1所示， 中， 。 求证：DE＝DF 分析： 由 是等腰直角三角形可知， ，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得 ， 。从而不难发现 证明： 连结CD 说明： 在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。 求证：∠E＝∠F 证明： 连结AC 在和中， 在和中， 说明： 利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 2 、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是 的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KH∥BC 分析： 由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。 证明： 延长AH交BC于N，延长AK交BC于M ∵BH平分∠ABC 又BH⊥AH BH＝BH 同理，CA＝CM，AK＝KM 是 的中位线 即KH//BC 说明： 当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC， 。 求证：FD⊥ED 证明一： 连结AD 在和中， 说明： 有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二： 如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM 说明： 证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。 （2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。 3 、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在 中， ，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：AC＝AE＋CD 分析： 在AC上截取AF＝AE。易知 ， 。由 ，知。 ，得： 证明： 在AC上截取AF＝AE 又 即 （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上， 。 求证：EF＝BE＋DF 分析： 此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。 证明： 延长CB至G，使BG＝DF 在正方形ABCD中， 又 即∠GAE＝∠FAE 4 、中考题： 如图8所示，已知 为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。 求证：EC＝ED 证明： 作DF//AC交BE于F 是正三角形 是正三角形 又AE＝BD 即EF＝AC 题型展示： 证明几何不等式： 例题：已知：如图9所示， 。 求证： 证明一： 延长AC到E，使AE＝AB，连结DE 在和中， 证明二： 如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF 则易证 说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。 【实战模拟】 1. 已知：如图11所示， 中， ，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有 。求证： 2. 已知：如图12所示，在中， ，CD是∠C的平分线。 求证：BC＝AC＋AD 3. 已知：如图13所示，过 的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。 求证：MP＝MQ 4. 中， 于D，求证： 【试题答案】 1. 证明： 取CD的中点F，连结AF 又 2. 分析： 本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。 证明： 延长CA至E，使CE＝CB，连结ED 在和中， 又 3. 证明： 延长PM交CQ于R 又 是 斜边上的中线 4. 取BC中点E，连结AE 例1. 已知：如图1所示， 中， 。 求证：DE＝DF 分析： 由 是等腰直角三角形可知， ，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得 ， 。从而不难发现 证明： 连结CD 说明： 在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD，因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G，使DG＝DE，连结BG，证 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图2所示，AB＝CD，AD＝BC，AE＝CF。 求证：∠E＝∠F 证明： 连结AC 在和中， 在和中， 说明： 利用三角形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意： （1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量； （2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。 2 、证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 例3. 如图3所示，设BP、CQ是 的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ的垂线。 求证：KH∥BC 分析： 由已知，BH平分∠ABC，又BH⊥AH，延长AH交BC于N，则BA＝BN，AH＝HN。同理，延长AK交BC于M，则CA＝CM，AK＝KM。从而由三角形的中位线定理，知KH∥BC。 证明： 延长AH交BC于N，延长AK交BC于M ∵BH平分∠ABC 又BH⊥AH BH＝BH 同理，CA＝CM，AK＝KM 是 的中位线 即KH//BC 说明： 当一个三角形中出现角平分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。 例4. 已知：如图4所示，AB＝AC， 。 求证：FD⊥ED 证明一： 连结AD 在和中， 说明： 有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。 证明二： 如图5所示，延长ED到M，使DM＝ED，连结FE，FM，BM 说明： 证明两直线垂直的方法如下： （1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证二。 （2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余。 （3）证明二直线的夹角等于90°。 3 、证明一线段和的问题 （一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。（截长法） 例5. 已知：如图6所示在 中， ，∠BAC、∠BCA的角平分线AD、CE相交于O。 求证：AC＝AE＋CD 分析： 在AC上截取AF＝AE。易知 ， 。由 ，知。 ，得： 证明： 在AC上截取AF＝AE 又 即 （二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法） 例6. 已知：如图7所示，正方形ABCD中，F在DC上，E在BC上， 。 求证：EF＝BE＋DF 分析： 此题若仿照例1，将会遇到困难，不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G，使BG＝DF。 证明： 延长CB至G，使BG＝DF 在正方形ABCD中， 又 即∠GAE＝∠FAE 4 、中考题： 如图8所示，已知 为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连结CE、DE。 求证：EC＝ED 证明： 作DF//AC交BE于F 是正三角形 是正三角形 又AE＝BD 即EF＝AC 题型展示： 证明几何不等式： 例题：已知：如图9所示， 。 求证： 证明一： 延长AC到E，使AE＝AB，连结DE 在和中， 证明二： 如图10所示，在AB上截取AF＝AC，连结DF 则易证 说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形，这是常用辅助线。 【实战模拟】 1. 已知：如图11所示， 中， ，D是AB上一点，DE⊥CD于D，交BC于E，且有 。求证： 2. 已知：如图12所示，在中， ，CD是∠C的平分线。 求证：BC＝AC＋AD 3. 已知：如图13所示，过 的顶点A，在∠A内任引一射线，过B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。 求证：MP＝MQ 4. 中， 于D，求证： 【试题答案】 1. 证明： 取CD的中点F，连结AF 又 2. 分析： 本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。“截长”即将长的线段截成两部分，证明这两部分分别和两条短线段相等；“补短”即将一条短线段延长出另一条短线段之长，证明其和等于长的线段。 证明： 延长CA至E，使CE＝CB，连结ED 在和中， 又 3. 证明： 延长PM交CQ于R 又 是 斜边上的中线 4. 取BC中点E，连结AE