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数列求和常用公式:
1）1+2+3+.+n=n(n+1)÷2
2）1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6
3） 1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
4） 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3
5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+.+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
6） 1+3+6+10+15+.
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+.+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6
7）1+2+4+7+11+.
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+.+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6
8）1/2+1/2*3+1/3*4+.+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)
9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+.+1/1+2+3+...+n)
=2/2*3+2/3*4+2/4*5+.+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)
10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+.+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
11）1^2+3^2+5^2+.(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3
12）1^3+3^3+5^3+.(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13）1^4+2^4+3^4+.+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30
14）1^5+2^5+3^5+.+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12
15）1+2+2^2+2^3+.+2^n=2^(n+1) – 1
ps：数列的性质：
等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd．
⑶若{ a }、{ b }为等差数列,则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n ,在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等）,那么当{a }为等差数列时,有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a }是等差数列,公差为d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差数列,其公差为－d；在等差数列{ a }中,a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时,等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时,等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时,等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a ,a ,a 为等差数列中的三项,且a 与a ,a 与a 的项距差之比 = （ ≠－1）,则a = ．
5．等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a }中,当项数为2n (n N )时,S －S = nd, = ；当项数为(2n－1) (n )时,S －S = a , = ．
⑶若数列{ a }为等差数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等差数列,公差为 ．
⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数),则 = ．
⑸在等差数列{ a }中,S = a,S = b (n＞m),则S = (a－b)．
⑹等差数列{a }中, 是n的一次函数,且点（n, ）均在直线y = x + (a － )上．
⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0,公差d＜0,则当a ≥0且a ≤0时,S 最大；②若a ＜0 ,公差d＞0,则当a ≤0且a ≥0时,S 最小．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为q ( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n ,在等比数列{ a }中有：a = a · q ,特别地,当m = 1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a }为等比数列时,有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．
⑷若{ a }是公比为q的等比数列,则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列,其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比数列,公比为q,那么,a ,a ,a ,…,a ,…是以q 为公比的等比数列．
⑹如果{ a }是等比数列,那么对任意在n ,都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时,等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时,等比数列为递减数列；当q = 1时,等比数列为常数列；当q＜0时,等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S 的基本性质
⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列,那么,它的前n项和公式是S =
也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q = 1处．因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1,如果q可能等于1,则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a ,q,n时,用公式S = ；当已知a ,q,a 时,用公式S = ．
⑶若S 是以q为公比的等比数列,则有S = S ＋qS ．⑵
⑷若数列{ a }为等比数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ,次n项和与次n项积分别为S 与T ,最后n项和与n项积分别为S 与T ,则S ,S ,S 成等比数列,T ,T ,T 亦成等比数列
数列求和常用公式:
1）1+2+3+.+n=n(n+1)÷2
2）1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)÷6
3） 1^3+2^3+3^3+.+n^3=( 1+2+3+.+n)^2
=n^2*(n+1)^2÷4
4） 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)
=n(n+1)(n+2)÷3
5） 1*2*3+2*3*4+3*4*5+.+n(n+1)(n+2)
=n(n+1)(n+2)(n+3)÷4
6） 1+3+6+10+15+.
=1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)+.+(1+2+3+...+n)
=[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2=n(n+1)(n+2) ÷6
7）1+2+4+7+11+.
=1+(1+1)+(1+1+2)+(1+1+2+3)+.+(1+1+2+3+...+n)
=(n+1)*1+[1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)]/2
=(n+1)+n(n+1)(n+2) ÷6
8）1/2+1/2*3+1/3*4+.+1/n(n+1)
=1-1/(n+1)=n÷(n+1)
9）1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+.+1/1+2+3+...+n)
=2/2*3+2/3*4+2/4*5+.+2/n(n+1)
=(n-1) ÷(n+1)
10）1/1*2+2/2*3+3/2*3*4+.+(n-1)/2*3*4*...*n
=(2*3*4*...*n- 1)/2*3*4*...*n
11）1^2+3^2+5^2+.(2n-1)^2=n(4n^2-1) ÷3
12）1^3+3^3+5^3+.(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)
13）1^4+2^4+3^4+.+n^4
=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) ÷30
14）1^5+2^5+3^5+.+n^5
=n^2 (n+1)^2 (2n^2+2n-1) ÷ 12
15）1+2+2^2+2^3+.+2^n=2^(n+1) – 1
ps：数列的性质：
等差数列的基本性质
⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d．
⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd．
⑶若{ a }、{ b }为等差数列,则{ a ±b }与{ka ＋b}(k、b为非零常数)也是等差数列．
⑷对任何m、n ,在等差数列{ a }中有：a = a + (n－m)d,特别地,当m = 1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性．
⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l + k + p + … = m + n + r + … （两边的自然数个数相等）,那么当{a }为等差数列时,有：a + a + a + … = a + a + a + … ．
⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd( k为取出项数之差)．
⑺如果{ a }是等差数列,公差为d,那么,a ,a ,…,a 、a 也是等差数列,其公差为－d；在等差数列{ a }中,a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )
⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项．
⑼当公差d＞0时,等差数列中的数随项数的增大而增大；当d＜0时,等差数列中的数随项数的减少而减小；d＝0时,等差数列中的数等于一个常数．
⑽设a ,a ,a 为等差数列中的三项,且a 与a ,a 与a 的项距差之比 = （ ≠－1）,则a = ．
5．等差数列前n项和公式S 的基本性质
⑴数列{ a }为等差数列的充要条件是：数列{ a }的前n项和S 可以写成S = an + bn的形式(其中a、b为常数)．
⑵在等差数列{ a }中,当项数为2n (n N )时,S －S = nd, = ；当项数为(2n－1) (n )时,S －S = a , = ．
⑶若数列{ a }为等差数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等差数列,公差为 ．
⑷若两个等差数列{ a }、{ b }的前n项和分别是S 、T (n为奇数),则 = ．
⑸在等差数列{ a }中,S = a,S = b (n＞m),则S = (a－b)．
⑹等差数列{a }中, 是n的一次函数,且点（n, ）均在直线y = x + (a － )上．
⑺记等差数列{a }的前n项和为S ．①若a ＞0,公差d＜0,则当a ≥0且a ≤0时,S 最大；②若a ＜0 ,公差d＞0,则当a ≤0且a ≥0时,S 最小．
3．等比数列的基本性质
⑴公比为q的等比数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等比数列,其公比为q ( m为等距离的项数之差)．
⑵对任何m、n ,在等比数列{ a }中有：a = a · q ,特别地,当m = 1时,便得等比数列的通项公式,此式较等比数列的通项公式更具有普遍性．
⑶一般地,如果t ,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且t + k,p,…,m + … = m + n + r + … (两边的自然数个数相等),那么当{a }为等比数列时,有：a ．a ．a ．… = a ．a ．a ．… ．．
⑷若{ a }是公比为q的等比数列,则{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比数列,其公比分别为| q |}、{q }、{q}、{ }．
⑸如果{ a }是等比数列,公比为q,那么,a ,a ,a ,…,a ,…是以q 为公比的等比数列．
⑹如果{ a }是等比数列,那么对任意在n ,都有a ·a = a ·q ＞0．
⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列,且公比等于这两个数列的公比的积．
⑻当q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0时,等比数列为递增数列；当a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1时,等比数列为递减数列；当q = 1时,等比数列为常数列；当q＜0时,等比数列为摆动数列．
4．等比数列前n项和公式S 的基本性质
⑴如果数列{a }是公比为q 的等比数列,那么,它的前n项和公式是S =
也就是说,公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值,分段的界限是在q = 1处．因此,使用等比数列的前n项和公式,必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1,如果q可能等于1,则需分q = 1和q≠1进行讨论．
⑵当已知a ,q,n时,用公式S = ；当已知a ,q,a 时,用公式S = ．
⑶若S 是以q为公比的等比数列,则有S = S ＋qS ．⑵
⑷若数列{ a }为等比数列,则S ,S －S ,S －S ,…仍然成等比数列．
⑸若项数为3n的等比数列(q≠－1)前n项和与前n项积分别为S 与T ,次n项和与次n项积分别为S 与T ,最后n项和与n项积分别为S 与T ,则S ,S ,S 成等比数列,T ,T ,T 亦成等比数列