∫(sinx)^3(cosx)^5dx 答案∫(sinx)^3(cosx)^5dx =∫(sin³x)(cos³x)cos²xdx =∫(sinxcosx)³cos²xdx =⅛∫(sin³2x)cos²xdx =⅛∫(sin³2x)½(1+cos2x)dx =⅛×½∫(sin³2x)dx + ⅛×½∫(sin³2x)cos2xdx =⅛×½∫(sin²2x)sin2xdx + ⅛×¼∫(sin³2x)dsin2x =-⅛×¼∫(sin²2x)dcos2x + ⅛×¼∫(sin³2x)dsin2x =-⅛×¼∫(1-cos²2x)dcos2x + ⅛×¼∫(sin³2x)dsin2x =-⅛×¼∫dcos2x + ⅛×¼∫cos²2xdcos2x + ⅛×¼∫(sin³2x)dsin2x =-(1/32)cos2x + (1/96)cos³2x + (1/128)sin⁴2x + C 上面的结果是是用二倍角表达的，或改成原来的x角表达： -(1/32)cos2x + (1/96)cos³2x + (1/128)sin⁴2x + C =-(1/32)(1-2sin²x) + (1/96)(1-2sin²x)³ + (1/128)(2sinxcosx)⁴+ C =(1/16)sin²x) + (1/96)(1-6sin²x+12sin⁴x-8(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x cos⁴x + C =(1/16)sin²x) + (1/96)(-6sin²x+12sin⁴x-8(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x cos⁴x + C =(1/16)sin²x) - (1/16)sin²x + (1/8)sin⁴x - (1/12)(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x (1-sin²x)² + C =(1/8)sin⁴x - (1/12)(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x (1-sin²x)² + C =(1/8)sin⁴x - (1/12)(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x (1-2sin²x+sin⁴x) + C =(1/8)sin⁴x - (1/12)(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x - (1/4)(sinx)^6 + (1/8)(sinx)^8 + C =(1/4)sin⁴x - (1/3)(sinx)^6 + (1/8)(sinx)^8 + C ∫(sinx)^3(cosx)^5dx 答案∫(sinx)^3(cosx)^5dx =∫(sin³x)(cos³x)cos²xdx =∫(sinxcosx)³cos²xdx =⅛∫(sin³2x)cos²xdx =⅛∫(sin³2x)½(1+cos2x)dx =⅛×½∫(sin³2x)dx + ⅛×½∫(sin³2x)cos2xdx =⅛×½∫(sin²2x)sin2xdx + ⅛×¼∫(sin³2x)dsin2x =-⅛×¼∫(sin²2x)dcos2x + ⅛×¼∫(sin³2x)dsin2x =-⅛×¼∫(1-cos²2x)dcos2x + ⅛×¼∫(sin³2x)dsin2x =-⅛×¼∫dcos2x + ⅛×¼∫cos²2xdcos2x + ⅛×¼∫(sin³2x)dsin2x =-(1/32)cos2x + (1/96)cos³2x + (1/128)sin⁴2x + C 上面的结果是是用二倍角表达的，或改成原来的x角表达： -(1/32)cos2x + (1/96)cos³2x + (1/128)sin⁴2x + C =-(1/32)(1-2sin²x) + (1/96)(1-2sin²x)³ + (1/128)(2sinxcosx)⁴+ C =(1/16)sin²x) + (1/96)(1-6sin²x+12sin⁴x-8(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x cos⁴x + C =(1/16)sin²x) + (1/96)(-6sin²x+12sin⁴x-8(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x cos⁴x + C =(1/16)sin²x) - (1/16)sin²x + (1/8)sin⁴x - (1/12)(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x (1-sin²x)² + C =(1/8)sin⁴x - (1/12)(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x (1-sin²x)² + C =(1/8)sin⁴x - (1/12)(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x (1-2sin²x+sin⁴x) + C =(1/8)sin⁴x - (1/12)(sinx)^6 + (1/8)sin⁴x - (1/4)(sinx)^6 + (1/8)(sinx)^8 + C =(1/4)sin⁴x - (1/3)(sinx)^6 + (1/8)(sinx)^8 + C