高中数学证明题（分析法解题）已知a＞0,b＞0,且a+b=1求证：（a＋1/a）×（b+1/b）≥25/4
2019-03-30
高中数学证明题（分析法解题）
已知a＞0,b＞0,且a+b=1
求证：（a＋1/a）×（b+1/b）≥25/4
优质解答
证明：
∵a＞0,b＞0,且a+b=1
∴1=a+b≥2√ab
∴ab≤1/4,
要证：（a＋1/a）×（b+1/b）≥25/4
只要证ab+1/ab+b/a+a/b≥25/4
因为b/a+a/b≥2
所以只要证ab+1/ab+2≥25/4
即证ab+1/ab≥17/4;
又因为y=x+1/x在（0,1/4】上是减函数,
所以ab+1/ab≥1/4+4=17/4成立
因为最后一个不等式成立,所以原不等式成立
证明：
∵a＞0,b＞0,且a+b=1
∴1=a+b≥2√ab
∴ab≤1/4,
要证：（a＋1/a）×（b+1/b）≥25/4
只要证ab+1/ab+b/a+a/b≥25/4
因为b/a+a/b≥2
所以只要证ab+1/ab+2≥25/4
即证ab+1/ab≥17/4;
又因为y=x+1/x在（0,1/4】上是减函数,
所以ab+1/ab≥1/4+4=17/4成立
因为最后一个不等式成立,所以原不等式成立