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我们知道,二元一次方程表示的图形是直线,但一些二元二次方程和无理方程在一定的条件下,它也可以表示一条直线或两条直线,其解法的基本思想是将方程化归为二元一次方程,但其方法较为灵活,故笔者将通过一些实例来提供解决此类问题的一些常见解法,以助同学们一臂之力.
1、直接分解法
例1、证明：方程x2-xy-6y2+3x-9y=0表示两相交直线.
分析：只需将方程左边分解成两个二元一次方程即可.
证明：原方程可化为(x-3y)(x+2y)+3(x-3y)=0
(x-3y)(x+2y+3)=0
∴x-3y=0 或x+2y+3=0
∴方程表示两条直线
又∵它们的斜率不相等,∴两直线相交.
2、配方法
例2、当k为何值时,方程x2-y2+2kx-4y+3k=0表示直线.
分析 ：对x,y 分别进行配方,把方程化为(x-m)2-(y-n)2=c的形式,令c=0即可表示直线.
方程可化为 (x+k)2-(y+2)2=k2-3k-4
令k2-3k-4=0,得k=4或k=-1
即当k=4或-1 时,方程表示直线.
3、待定系数法
例3、若方程x2-2xy-3y2-kx+(k+6)y-2=0表示直线,试确定k 的值.
分析 ：方程中的二次项可分解为(x-3y)(x+y),所以,方程欲表示直线,方程左边只需分解成(x-3y+m)(x+y+n)=0
即(x-3y)(x+y)+m(x+y)+n(x-3y)+mn=0
(x-3y)(x+y)+(m+n)x+(m-3n)y+mn=0
m+n=-k
m-3n=k+6
mn=-2
m=2
n=-1
k=1
m=1
n=-2
k=-1
∴
∴ k=±1.
4、判别式法
例4、是否存在实数k,使方程x2+2kxy-3y2+4x+(k+3)y+4k=0表示直线,若能,试确定k的值；若不能,请说明理由.
分析：将方程视作x的一元二次方程,即Ax2+Bx+C=0,欲使方程表示直线,只需ㄓx是完全平方式,请注意,它是关于y的二次三项式,而要使y的二次三项式为完全平方,只需ㄓy=0即可.
方程可化为x2+(2ky+4)x-3y2+（k+3）y+4k=0
∴ㄓx=(2ky+4)2-4[-3y2+(k+3)y+4k]=(4k2+12) y 2+12(k-1)y+16(1-k)为完全平方式
∴ㄓy=0即[12(k-1)]2-4(4k2+12)×16(1-k)=0
(k-1)(16k2+9k+39)=0,∴k=1
∴存在k=1使得方程表示直线.
5、利用根分布
例5、 仅表示一条直线,求此时k的取值范围.
分析：将方程视作 的一元二次方程,则方程表示一条直线的充要条件是关于 的一元二次方程仅有一个非负实数根.
令 =t(t≥0)方程可化为t2-3t+k+3=0 (t≥0) (*)
∴方程（*）在 上有且仅有一个非负实根.
ㄓ=0
∴ 或k +3
我们知道,二元一次方程表示的图形是直线,但一些二元二次方程和无理方程在一定的条件下,它也可以表示一条直线或两条直线,其解法的基本思想是将方程化归为二元一次方程,但其方法较为灵活,故笔者将通过一些实例来提供解决此类问题的一些常见解法,以助同学们一臂之力.
1、直接分解法
例1、证明：方程x2-xy-6y2+3x-9y=0表示两相交直线.
分析：只需将方程左边分解成两个二元一次方程即可.
证明：原方程可化为(x-3y)(x+2y)+3(x-3y)=0
(x-3y)(x+2y+3)=0
∴x-3y=0 或x+2y+3=0
∴方程表示两条直线
又∵它们的斜率不相等,∴两直线相交.
2、配方法
例2、当k为何值时,方程x2-y2+2kx-4y+3k=0表示直线.
分析 ：对x,y 分别进行配方,把方程化为(x-m)2-(y-n)2=c的形式,令c=0即可表示直线.
方程可化为 (x+k)2-(y+2)2=k2-3k-4
令k2-3k-4=0,得k=4或k=-1
即当k=4或-1 时,方程表示直线.
3、待定系数法
例3、若方程x2-2xy-3y2-kx+(k+6)y-2=0表示直线,试确定k 的值.
分析 ：方程中的二次项可分解为(x-3y)(x+y),所以,方程欲表示直线,方程左边只需分解成(x-3y+m)(x+y+n)=0
即(x-3y)(x+y)+m(x+y)+n(x-3y)+mn=0
(x-3y)(x+y)+(m+n)x+(m-3n)y+mn=0
m+n=-k
m-3n=k+6
mn=-2
m=2
n=-1
k=1
m=1
n=-2
k=-1
∴
∴ k=±1.
4、判别式法
例4、是否存在实数k,使方程x2+2kxy-3y2+4x+(k+3)y+4k=0表示直线,若能,试确定k的值；若不能,请说明理由.
分析：将方程视作x的一元二次方程,即Ax2+Bx+C=0,欲使方程表示直线,只需ㄓx是完全平方式,请注意,它是关于y的二次三项式,而要使y的二次三项式为完全平方,只需ㄓy=0即可.
方程可化为x2+(2ky+4)x-3y2+（k+3）y+4k=0
∴ㄓx=(2ky+4)2-4[-3y2+(k+3)y+4k]=(4k2+12) y 2+12(k-1)y+16(1-k)为完全平方式
∴ㄓy=0即[12(k-1)]2-4(4k2+12)×16(1-k)=0
(k-1)(16k2+9k+39)=0,∴k=1
∴存在k=1使得方程表示直线.
5、利用根分布
例5、 仅表示一条直线,求此时k的取值范围.
分析：将方程视作 的一元二次方程,则方程表示一条直线的充要条件是关于 的一元二次方程仅有一个非负实数根.
令 =t(t≥0)方程可化为t2-3t+k+3=0 (t≥0) (*)
∴方程（*）在 上有且仅有一个非负实根.
ㄓ=0
∴ 或k +3