优质解答
1、n→∞时,sin(π/3^n)等价于π/3^n,所以整个通项等价于π(2/3)^n,级数∑π(2/3)^n是公比为2/3的等比级数,收敛,所以由比较法,原级数收敛.
2、通项小于等于n/2^n,对于级数∑n/2^n,由比值法,u(n+1)/un的极限是1/2＜1,所以∑n/2^n收敛.由比较法,原级数收敛.
3、用比值法,u(n+1)/un＝5/[(1+1/n)^(n+1)],极限是5/e＞1,所以级数发散.
4、通项un≤4/3^(n+1),级数∑4/3^(n+1)是公比为1/3的等比级数,收敛.所以由比较法,原级数收敛.
5、ln(1+x)=x-1/2*x^2+O(x^2),替换x为1/n,则n→∞时,(1/n-ln((n+1)/n))/(1/n^2)→1/2,级数∑1/n^2收敛,所以由比较法,原级数收敛.
1、n→∞时,sin(π/3^n)等价于π/3^n,所以整个通项等价于π(2/3)^n,级数∑π(2/3)^n是公比为2/3的等比级数,收敛,所以由比较法,原级数收敛.
2、通项小于等于n/2^n,对于级数∑n/2^n,由比值法,u(n+1)/un的极限是1/2＜1,所以∑n/2^n收敛.由比较法,原级数收敛.
3、用比值法,u(n+1)/un＝5/[(1+1/n)^(n+1)],极限是5/e＞1,所以级数发散.
4、通项un≤4/3^(n+1),级数∑4/3^(n+1)是公比为1/3的等比级数,收敛.所以由比较法,原级数收敛.
5、ln(1+x)=x-1/2*x^2+O(x^2),替换x为1/n,则n→∞时,(1/n-ln((n+1)/n))/(1/n^2)→1/2,级数∑1/n^2收敛,所以由比较法,原级数收敛.
