数学
某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．

2019-04-04

某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．
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（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？
（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．
优质解答
（Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人，
女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人．
（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是
5
30+45
=
1
15
，
所以样本中包含男生人数为30×
1
15
=2人，女生人数为45×
1
15
=3人，
设两名男生为A1，A2，三名女生为B1，B2，B3，
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，
{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，
则事件C包含的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，
{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}共7个，
所以P(C)=
7
10
，即选取的2人中至少有一名男生的概率为
7
10
． （Ⅰ）由题意可得，男生优秀人数为100×（0.01+0.02）×10=30人，
女生优秀人数为100×（0.015+0.03）×10=45人．
（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是
5
30+45
=
1
15
，
所以样本中包含男生人数为30×
1
15
=2人，女生人数为45×
1
15
=3人，
设两名男生为A1，A2，三名女生为B1，B2，B3，
则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，
{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共10个，
每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”，
则事件C包含的基本事件有：
{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，
{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}共7个，
所以P(C)=
7
10
，即选取的2人中至少有一名男生的概率为
7
10
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