（2014•仪征市二模）在一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们交流片断：图1：小韩：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，直线y=x和y=2x于点P、M、N时，有MNPM=1．图2：小苏：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，直线y=2x（x＞0）和y=3x（x＞0）于点P、M、N时，有MNPM=…问题解决（1）填空：图2中，小苏发现的MNPM=1212；（2）若记图1，图2中MN为d1，d2，分别求出d1，d2与m之间的函数关系式．并指出函数的增减性；（3）如图3，直线x=m（m＞0
2019-05-30
（2014•仪征市二模）在一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们交流片断：
图1：小韩：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，直线y=x和y=2x于点P、M、N时，有=1．
图2：小苏：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，直线y=（x＞0）和y=（x＞0）于点P、M、N时，有=…
问题解决
（1）填空：图2中，小苏发现的=；
（2）若记图1，图2中MN为d1，d2，分别求出d1，d2与m之间的函数关系式．并指出函数的增减性；
（3）如图3，直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x2-4x和y=x2-3x于点P，M，N，设A，B为抛物线y=x2-4x，y=x2-3x与x轴的非原点交点．当m为何值时，线段OP，PM，PN，MN中有三条能围成等边三角形？并直接写出此时点A，B，M，N围成的图形的面积．
优质解答
（1）当x=m时，
则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，
所以MN=-=，
∴=，
故答案为：；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，
∴MN=2m-m=m，
即d1=m，
当x=m时，则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，
∴MN=-=，
∴d2=，
∵m＞0，
∴函数d2为m为减函数；
（3）∵OP=m，PM=|4m-m2|=m|4-m|，PN=|3m-m2|=m|3-m|，MN=|m|，
由题意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5，或m=3（不合题意），或m=4（不合题意），或m=2，
当m=2时，S=3；当m=5时，S=7.5．
（1）当x=m时，
则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，
所以MN=-=，
∴=，
故答案为：；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，
∴MN=2m-m=m，
即d1=m，
当x=m时，则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，
∴MN=-=，
∴d2=，
∵m＞0，
∴函数d2为m为减函数；
（3）∵OP=m，PM=|4m-m2|=m|4-m|，PN=|3m-m2|=m|3-m|，MN=|m|，
由题意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5，或m=3（不合题意），或m=4（不合题意），或m=2，
当m=2时，S=3；当m=5时，S=7.5．