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【不完全归纳法】
【定义】是在某一类问题中,仅检验了若干有限种情况,作出一般性结论,这种归纳推理的方法,叫做“不完全归纳法”.
【特点】（一）局部的合理性；
（二）整体的不严密性.
【意义】人类认识世界总是从局部的个别的方面接触到他的,他的整体和全部不可能一一验证.
（一）这种归纳推理,可以在暂时对局部现实世界,有一定的参考价值、甚至有指导意义.
（二）这种归纳推理,促进了科学的发展.众所周知：具有合理性的结论,不一定是正确结论；而推理的不严密性并不能就此认定结论一定也是错的.这就促使大家或去严格论证,或去找反例推翻.
可以毫不夸张地说科学的发展,都要经过不完全归纳法这一步的.
“若干基本事实——合理归纳、大胆假设——小心论证”,“局部、具体——（演绎、论证）——整体、抽象——（指导、应用）——局部、具体”.
【举例】①我们从1=1^2,1+3=2^2,1+3+5=3^2,1+3+5+7=4^2,1+3+5+7+9=5^2,
进行分析研究后,初步“合理”地归纳出1+3+5+……+(2n-1)=n^2.
②对于二次函数f(x)=x^2+x+41,
有f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(6)=71,都是质数【实际上直到f(39)=1601都是质数】.
我们就初步“合理”地归纳出f(n)就是质数.
【小议论】由“哥德巴赫猜想”可见“不完全归纳法”的魅力,即使“哥德巴赫猜想”最后被否定,也无法否定“不完全归纳法”的作用.
【数学归纳法】
【适应问题类型】适应于算术型命题（在某个正整数开始N的任意正整数n≥N都成立的有关命题）一种数学证明方法.
【证明方法的特点】用数学归纳法来证明一个算术型命题时,必须要有三个步骤,缺一不可.
▲①·初始验证
要用数学归纳法证明“命题在某个正整数N开始的任意正整数都成立”,第一步就从这里n=N时命题“必须成立”开始启动；
▲②·通式假定
假定在n=k(≥N）时命题也成立；
▲③·渐进递推
利用①的“初始验证”和②的“通式假定”严格地推导出命题在n=k+1是也成立.
【逻辑意义】验证最初的n=N命题“必定成立”后,不用穷举n=N+1,n=N+2,……各种情况,因为有了②和③足以无可怀疑地说明了：
有n=N时的正确性,必有n=N+1时的正确性；
有n=N+1时的正确性,必有n=N+2时的正确性；
有n=N+2时的正确性,必有n=N+3时的正确性；……以至n为任意大于N的正整数时命题的正确性.
【不完全归纳法】
【定义】是在某一类问题中,仅检验了若干有限种情况,作出一般性结论,这种归纳推理的方法,叫做“不完全归纳法”.
【特点】（一）局部的合理性；
（二）整体的不严密性.
【意义】人类认识世界总是从局部的个别的方面接触到他的,他的整体和全部不可能一一验证.
（一）这种归纳推理,可以在暂时对局部现实世界,有一定的参考价值、甚至有指导意义.
（二）这种归纳推理,促进了科学的发展.众所周知：具有合理性的结论,不一定是正确结论；而推理的不严密性并不能就此认定结论一定也是错的.这就促使大家或去严格论证,或去找反例推翻.
可以毫不夸张地说科学的发展,都要经过不完全归纳法这一步的.
“若干基本事实——合理归纳、大胆假设——小心论证”,“局部、具体——（演绎、论证）——整体、抽象——（指导、应用）——局部、具体”.
【举例】①我们从1=1^2,1+3=2^2,1+3+5=3^2,1+3+5+7=4^2,1+3+5+7+9=5^2,
进行分析研究后,初步“合理”地归纳出1+3+5+……+(2n-1)=n^2.
②对于二次函数f(x)=x^2+x+41,
有f(0)=41,f(1)=43,f(2)=47,f(3)=53,f(4)=61,f(6)=71,都是质数【实际上直到f(39)=1601都是质数】.
我们就初步“合理”地归纳出f(n)就是质数.
【小议论】由“哥德巴赫猜想”可见“不完全归纳法”的魅力,即使“哥德巴赫猜想”最后被否定,也无法否定“不完全归纳法”的作用.
【数学归纳法】
【适应问题类型】适应于算术型命题（在某个正整数开始N的任意正整数n≥N都成立的有关命题）一种数学证明方法.
【证明方法的特点】用数学归纳法来证明一个算术型命题时,必须要有三个步骤,缺一不可.
▲①·初始验证
要用数学归纳法证明“命题在某个正整数N开始的任意正整数都成立”,第一步就从这里n=N时命题“必须成立”开始启动；
▲②·通式假定
假定在n=k(≥N）时命题也成立；
▲③·渐进递推
利用①的“初始验证”和②的“通式假定”严格地推导出命题在n=k+1是也成立.
【逻辑意义】验证最初的n=N命题“必定成立”后,不用穷举n=N+1,n=N+2,……各种情况,因为有了②和③足以无可怀疑地说明了：
有n=N时的正确性,必有n=N+1时的正确性；
有n=N+1时的正确性,必有n=N+2时的正确性；
有n=N+2时的正确性,必有n=N+3时的正确性；……以至n为任意大于N的正整数时命题的正确性.