已知x＜-3,化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号．
解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)
=｜3+｜3+x｜｜
=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)
=｜-x｜=-x．
解 因为 abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0．
(1)当a,b,c均大于零时,原式=3；
(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3；
(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1；
(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1．
说明 本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用．
例5 若｜x｜=3,｜y｜=2,且｜x-y｜=y-x,求x+y的值．
解 因为｜x-y｜≥0,所以y-x≥0,y≥x．由｜x｜=3,｜y｜=2可知,x＜0,即x=-3．
(1)当y=2时,x+y=-1；
(2)当y=-2时,x+y=-5．
所以x+y的值为-1或-5．
例6 若a,b,c为整数,且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1,试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
解 a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且｜a-b｜19,｜c-a｜99为两个非负整数,和为1,所以只能是
｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1,①
或
｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②
由①有a=b且c=a±1,于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1,于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1,
所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．
解 依相反数的意义有
｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．
因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即
由①有x-y=-3,由②有x+y=1999．②-①得
2y=2002,y=1001,
所以
例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事．例如,化简｜3x+1｜,只要考虑3x+1的正负,即可去掉绝对值符号．这里我们
为三个部分(如图1－2所示),即
这样我们就可以分类讨论化简了．
原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；
原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；
原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
即
说明 解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”．
例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜,求y的最大值．
分析 首先使用“零点分段法”将y化简,然后在各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,从中选出最大者．
解 有三个分界点：-3,1,-1．
(1)当x≤-3时,
y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,
由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4．
(2)当-3≤x≤-1时,
y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11,
由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6．
(3)当-1≤x≤1时,
y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3,
由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6．
(4)当x≥1时,
y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,
由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0．
综上可知,当x=-1时,y取得最大值为6．
例10 设a＜b＜c＜d,求
｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜
的最小值．
分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算,但比较麻烦．若能利用｜x-a｜,｜x-b｜,｜x-c｜,｜x-d｜的几何意义来解题,将显得更加简捷便利．
解 设a,b,c,d,x在数轴上的对应点分别为A,B,C,D,X,则｜x-a｜表示线段AX之长,同理,｜x-b｜,｜x-c｜,｜x-d｜分别表示线段BX,CX,DX之长．现要求｜x-a｜,｜x-b｜,｜x-c｜,｜x-d｜之和的值最小,就是要在数轴上找一点X,使该点到A,B,C,D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d,所以A,B,C,D的排列应如图1－3所示：
所以当X在B,C之间时,距离和最小,这个最小值为AD+BC,即(d-a)+(c-b)．
例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值．
分析与解 要使原式对任何数x恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含x的项相加为零,即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
故x应满足的条件是
此时
原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4
=7． 已知x＜-3,化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题,可从里往外一层一层地去绝对值符号．
解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)
=｜3+｜3+x｜｜
=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)
=｜-x｜=-x．
解 因为 abc≠0,所以a≠0,b≠0,c≠0．
(1)当a,b,c均大于零时,原式=3；
(2)当a,b,c均小于零时,原式=-3；
(3)当a,b,c中有两个大于零,一个小于零时,原式=1；
(4)当a,b,c中有两个小于零,一个大于零时,原式=-1．
说明 本例的解法是采取把a,b,c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的,这种解法叫作分类讨论法,它在解决绝对值问题时很常用．
例5 若｜x｜=3,｜y｜=2,且｜x-y｜=y-x,求x+y的值．
解 因为｜x-y｜≥0,所以y-x≥0,y≥x．由｜x｜=3,｜y｜=2可知,x＜0,即x=-3．
(1)当y=2时,x+y=-1；
(2)当y=-2时,x+y=-5．
所以x+y的值为-1或-5．
例6 若a,b,c为整数,且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1,试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
解 a,b,c均为整数,则a-b,c-a也应为整数,且｜a-b｜19,｜c-a｜99为两个非负整数,和为1,所以只能是
｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1,①
或
｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0． ②
由①有a=b且c=a±1,于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1,于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1,
所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．
解 依相反数的意义有
｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．
因为任何一个实数的绝对值是非负数,所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即
由①有x-y=-3,由②有x+y=1999．②-①得
2y=2002,y=1001,
所以
例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．
分析 本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号,则是很容易的事．例如,化简｜3x+1｜,只要考虑3x+1的正负,即可去掉绝对值符号．这里我们
为三个部分(如图1－2所示),即
这样我们就可以分类讨论化简了．
原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；
原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；
原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．
即
说明 解这类题目,可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值,即先求出各个分界点,然后在数轴上标出这些分界点,这样就将数轴分成几个部分,根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简,这种方法又称为“零点分段法”．
例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜,求y的最大值．
分析 首先使用“零点分段法”将y化简,然后在各个取值范围内求出y的最大值,再加以比较,从中选出最大者．
解 有三个分界点：-3,1,-1．
(1)当x≤-3时,
y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1,
由于x≤-3,所以y=x-1≤-4,y的最大值是-4．
(2)当-3≤x≤-1时,
y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11,
由于-3≤x≤-1,所以-4≤5x+11≤6,y的最大值是6．
(3)当-1≤x≤1时,
y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3,
由于-1≤x≤1,所以0≤-3x+3≤6,y的最大值是6．
(4)当x≥1时,
y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1,
由于x≥1,所以1-x≤0,y的最大值是0．
综上可知,当x=-1时,y取得最大值为6．
例10 设a＜b＜c＜d,求
｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜
的最小值．
分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算,但比较麻烦．若能利用｜x-a｜,｜x-b｜,｜x-c｜,｜x-d｜的几何意义来解题,将显得更加简捷便利．
解 设a,b,c,d,x在数轴上的对应点分别为A,B,C,D,X,则｜x-a｜表示线段AX之长,同理,｜x-b｜,｜x-c｜,｜x-d｜分别表示线段BX,CX,DX之长．现要求｜x-a｜,｜x-b｜,｜x-c｜,｜x-d｜之和的值最小,就是要在数轴上找一点X,使该点到A,B,C,D四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d,所以A,B,C,D的排列应如图1－3所示：
所以当X在B,C之间时,距离和最小,这个最小值为AD+BC,即(d-a)+(c-b)．
例11 若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数,求x该满足的条件及此常数的值．
分析与解 要使原式对任何数x恒为常数,则去掉绝对值符号,化简合并时,必须使含x的项相加为零,即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
故x应满足的条件是
此时
原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4
=7．