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物理和数学是紧密联系的两个学科，应用物理模型的方法可以解决相关的数学问题．图为y=-x280的抛物线，从数学的角度上看，曲线上某点的曲率圆半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆“的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径．而从物理模型的角度来说，可以用运动轨迹和抛物线重合的某种运动来进行研究，只要找出物体运动至某点时与速度方向垂直的合外力（即提供此点的向心力），利用向心力公式求解得出的半径即此点的曲率半径．现取图中x≥0的区域进行研究，问：（1）你将以何种运动模型

2019-04-14

物理和数学是紧密联系的两个学科，应用物理模型的方法可以解决相关的数学问题．图为y=-
x2
80
的抛物线，从数学的角度上看，曲线上某点的曲率圆半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆“的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径．而从物理模型的角度来说，可以用运动轨迹和抛物线重合的某种运动来进行研究，只要找出物体运动至某点时与速度方向垂直的合外力（即提供此点的向心力），利用向心力公式求解得出的半径即此点的曲率半径．现取图中x≥0的区域进行研究，问：
（1）你将以何种运动模型来研究此曲线的曲率半径？并以你选定运动模型计算说明出发点（即坐标原点）的速度和加速度的大小和方向？
（2）以你选定运动模型及相应的初速度和加速度，请你计算一下坐标为（40，-20）点的速度的大小和方向．
（3）以你选定运动模型及相应的初速度和加速度，请你计算一下坐标为（40，-20）点的曲率半径r为多少？
优质解答
（1）类平抛运动或平抛运动．（a可取任意值，答案无数种．）
x=40=v0t
y＝20＝
1
2
gt2
得：t=2s，v0=20m/s，方向水平向右，
a=g=10m/s2，方向竖直向下．
（2）vy=gt=20m/s
vt＝
v
2
x
+
v
2
y
=
202+202
=20
2
m/s
tanθ＝
vy
vx
=
20
20
＝1．即方向与水平成45度角斜向下．
（3）mgcos450＝
m
v
2
t
r

得：r＝
2
v
2
t
2
g
=
2×(20
2
)2
2
×10
=80
2
m
答：（1）以类平抛运动或平抛运动模型来研究此曲线的曲率半径；
出发点（即坐标原点）的速度为20m/s，方向水平向右，
加速度g=10m/s2，方向竖直向下．
（2）坐标为（40，-20）点的速度的大小为20
2
m/s，方向与水平成45度角斜向下．
（3）坐标为（40，-20）点的曲率半径r为80
2
m． （1）类平抛运动或平抛运动．（a可取任意值，答案无数种．）
x=40=v0t
y＝20＝
1
2
gt2
得：t=2s，v0=20m/s，方向水平向右，
a=g=10m/s2，方向竖直向下．
（2）vy=gt=20m/s
vt＝
v
2
x
+
v
2
y
=
202+202
=20
2
m/s
tanθ＝
vy
vx
=
20
20
＝1．即方向与水平成45度角斜向下．
（3）mgcos450＝
m
v
2
t
r

得：r＝
2
v
2
t
2
g
=
2×(20
2
)2
2
×10
=80
2
m
答：（1）以类平抛运动或平抛运动模型来研究此曲线的曲率半径；
出发点（即坐标原点）的速度为20m/s，方向水平向右，
加速度g=10m/s2，方向竖直向下．
（2）坐标为（40，-20）点的速度的大小为20
2
m/s，方向与水平成45度角斜向下．
（3）坐标为（40，-20）点的曲率半径r为80
2
m．
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