数学
某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有75%的同学选报法语课,有60%的同学选报日语课.假设每个人对课程的选报是相互独立的,且各人的选报相互之间没有影响.(1)任选1名同学,求其选报过第二外语的概率;(2)理科:任选3名同学,记ξ为3人中选报过第二外语的人数,求ξ的分布列、期望和方差.文科:任选3名同学,求3人中恰有1人选报过第二外语的概率.

2019-06-19

某学校为高二年级开展第二外语选修课,要求每位同学最多可以选报两门课程.已知有75%的同学选报法语课,有60%的同学选报日语课.假设每个人对课程的选报是相互独立的,且各人的选报相互之间没有影响.
(1)任选1名同学,求其选报过第二外语的概率;
(2)理科:任选3名同学,记ξ为3人中选报过第二外语的人数,求ξ的分布列、期望和方差.
文科:任选3名同学,求3人中恰有1人选报过第二外语的概率.
优质解答
设事件A:选报法语课;事件B:选报日语课.
由题设知,事件A与B相互独立,且P(A)=0.75.P(B)=0.6
(1)解法一:任选1名同学,
该人一门课程均没选报的概率是 P 1 =P(
.
A
.
B
)=P(
.
A
)•P(
.
B
)=0.4×0.25=0.1

所以该人选报过第二外语的概率是P 2 =1-P 1 =1-0.1=0.9.…(6分)
解法二:任选1名同学,该人只选报一门课程的概率是 P 3 =P(A•
.
B
)+P(
.
A
•B)=0.75×0.4+0.25×0.6=0.45

该人选报两门课程的概率是P 4 =P(A•B)=0.75×0.6=0.45.
所以该人选报过第二外语的
概率是P 5 =P 3 +P 4 =0.45+0.45=0.9…(6分)
(2)【理科】因为每个人的选报是相互独立的,
所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B(3,0.9),
P(ξ=k)=C 3 k ×0.9 k ×0.1 3-k ,k=0,1,2,3,
即ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
…(9分)ξ的期望是Eξ=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
(或ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7)…(11分)
ξ的方差是Dξ=3×0.98×(1-0.98)=0.0588…(12分)
【文科】3人中有1人选报过第二外语的概率为C 3 1 ×0.9 1 ×0.1 2 =0.027------(12分)
设事件A:选报法语课;事件B:选报日语课.
由题设知,事件A与B相互独立,且P(A)=0.75.P(B)=0.6
(1)解法一:任选1名同学,
该人一门课程均没选报的概率是 P 1 =P(
.
A
.
B
)=P(
.
A
)•P(
.
B
)=0.4×0.25=0.1

所以该人选报过第二外语的概率是P 2 =1-P 1 =1-0.1=0.9.…(6分)
解法二:任选1名同学,该人只选报一门课程的概率是 P 3 =P(A•
.
B
)+P(
.
A
•B)=0.75×0.4+0.25×0.6=0.45

该人选报两门课程的概率是P 4 =P(A•B)=0.75×0.6=0.45.
所以该人选报过第二外语的
概率是P 5 =P 3 +P 4 =0.45+0.45=0.9…(6分)
(2)【理科】因为每个人的选报是相互独立的,
所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B(3,0.9),
P(ξ=k)=C 3 k ×0.9 k ×0.1 3-k ,k=0,1,2,3,
即ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
…(9分)ξ的期望是Eξ=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
(或ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7)…(11分)
ξ的方差是Dξ=3×0.98×(1-0.98)=0.0588…(12分)
【文科】3人中有1人选报过第二外语的概率为C 3 1 ×0.9 1 ×0.1 2 =0.027------(12分)
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