数学
某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．（1）任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；（2）理科：任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差．文科：任选3名同学，求3人中恰有1人选报过第二外语的概率．

2019-06-19

某学校为高二年级开展第二外语选修课，要求每位同学最多可以选报两门课程．已知有75%的同学选报法语课，有60%的同学选报日语课．假设每个人对课程的选报是相互独立的，且各人的选报相互之间没有影响．
（1）任选1名同学，求其选报过第二外语的概率；
（2）理科：任选3名同学，记ξ为3人中选报过第二外语的人数，求ξ的分布列、期望和方差．
文科：任选3名同学，求3人中恰有1人选报过第二外语的概率．
优质解答
设事件A：选报法语课；事件B：选报日语课．
由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）解法一：任选1名同学，
该人一门课程均没选报的概率是 P 1 =P(
.
A
•
.
B
)=P(
.
A
)•P(
.
B
)=0.4×0.25=0.1
所以该人选报过第二外语的概率是P 2 =1-P 1 =1-0.1=0.9．…（6分）
解法二：任选1名同学，该人只选报一门课程的概率是 P 3 =P(A•
.
B
)+P(
.
A
•B)=0.75×0.4+0.25×0.6=0.45
该人选报两门课程的概率是P 4 =P（A•B）=0.75×0.6=0.45．
所以该人选报过第二外语的
概率是P 5 =P 3 +P 4 =0.45+0.45=0.9…（6分）
（2）【理科】因为每个人的选报是相互独立的，
所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B（3，0.9），
P（ξ=k）=C 3 k ×0.9 k ×0.1 3-k ，k=0，1，2，3，
即ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
…（9分）ξ的期望是Eξ=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
（或ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7）…（11分）
ξ的方差是Dξ=3×0.98×（1-0.98）=0.0588…（12分）
【文科】3人中有1人选报过第二外语的概率为C 3 1 ×0.9 1 ×0.1 2 =0.027------（12分）
设事件A：选报法语课；事件B：选报日语课．
由题设知，事件A与B相互独立，且P（A）=0.75．P（B）=0.6
（1）解法一：任选1名同学，
该人一门课程均没选报的概率是 P 1 =P(
.
A
•
.
B
)=P(
.
A
)•P(
.
B
)=0.4×0.25=0.1
所以该人选报过第二外语的概率是P 2 =1-P 1 =1-0.1=0.9．…（6分）
解法二：任选1名同学，该人只选报一门课程的概率是 P 3 =P(A•
.
B
)+P(
.
A
•B)=0.75×0.4+0.25×0.6=0.45
该人选报两门课程的概率是P 4 =P（A•B）=0.75×0.6=0.45．
所以该人选报过第二外语的
概率是P 5 =P 3 +P 4 =0.45+0.45=0.9…（6分）
（2）【理科】因为每个人的选报是相互独立的，
所以3人中选报过第二外语的人数ξ服从二项分布B（3，0.9），
P（ξ=k）=C 3 k ×0.9 k ×0.1 3-k ，k=0，1，2，3，
即ξ的分布列是
ξ 0 1 2 3
P 0.001 0.027 0.243 0.729
…（9分）ξ的期望是Eξ=1×0.027+2×0.243+3×0.729=2.7
（或ξ的期望是Eξ=3×0.9=2.7）…（11分）
ξ的方差是Dξ=3×0.98×（1-0.98）=0.0588…（12分）
【文科】3人中有1人选报过第二外语的概率为C 3 1 ×0.9 1 ×0.1 2 =0.027------（12分）
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