（2013•东城区二模）定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中的四点．（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是55．（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d．（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M

2019-05-03

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（2013•东城区二模）定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中的四点．
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是______；
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是

．
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长______．

优质解答

（1）当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离等于平行线间的距离，即为2；
当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如图，

过点B作BD⊥x轴于点D，则AD=5-4=1，BD=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=

AD2+BD2

12+22

；

（2）如图，

当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
①当2≤m＜4时，d=|n|（-2≤n≤2），
或：过点B作BE⊥x轴于点E，线段BC与线段OA的距离等于BE长，
OE=m，AE=OA-OE=4-m，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，d=

AB2−AE2

22−(4−m)2

−m2+8m−12

；
②当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；

（3）根据题意画出图形，点M形成的图形为图中红线表示的封闭图形，

由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，
其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．
故答案为：（1）2，