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教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
（老师点评） （1）移项,得：6x2-7x=-1
二次项系数化为1,得：x2- x=-
配方,得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2
（x- ）2=
x- =± x1= + = =1
x2=- + = =
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1= ,x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
移项,得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+ x=-
配方,得：x2+ x+（ ）2=- +（ ）2
即（x+ ）2=
∵b2-4ac≥0且4a20
∴ ≥0
直接开平方,得：x+ =±
即x=
∴x1= ,x2=
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定,因此：
（1）解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可．
（1）a=2,b=-4,c=-1
b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=240
x=
∴x1= ,x2=
（2）将方程化为一般形式
3x2-5x-2=0
a=3,b=-5,c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=490
x=
x1=2,x2=-
（3）将方程化为一般形式
3x2-11x+9=0
a=3,b=-11,c=9
b2-4ac=（-11）2-4×3×9=130
∴x=
∴x1= ,x2=
（3）a=4,b=-3,c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-70
因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P42 练习1．（1）、（3）、（5）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出．
你能解决这个问题吗?
分析：能．（1）要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程,必须满足:
① 或② 或③
（1）存在．根据题意,得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时,m+1=1+1=2≠0
当m=-1时,m+1=-1+1=0（不合题意,舍去）
∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0
a=2,b=-1,c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=,x2=-
因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=- ．
（2）存在．根据题意,得：①m2+1=1,m2=0,m=0
因为当m=0时,（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0,m不存在．
③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,
解得：x=-1
当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1；当m=-1时,其一元一次方程的根为x=- ．
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P45 复习巩固4．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3,得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）．
A．x1= ,x2= B．x1=6,x2=
C．x1=2 ,x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0,则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________,条件是________．
2．当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根,（1）试推导x1+x2=- ,x1·x2= ；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?
答案:
一、1．D 2．D 3．C
二、1．x= ,b2-4ac≥0 2．4 3．-3
三、1．x= =a±│b│
2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根,
∴x1= ,x2=
∴x1+x2= =- ,
x1·x2= · =
（2）∵x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,∴ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
3．（1）超过部分电费=（90-A）· =- A2+ A
（2）依题意,得：（80-A）· =15,A1=30（舍去）,A2=50
教学目标
理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程．
复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程．
重难点关键
1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．
2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）用配方法解下列方程
（1）6x2-7x+1=0 （2）4x2-3x=52
（老师点评） （1）移项,得：6x2-7x=-1
二次项系数化为1,得：x2- x=-
配方,得：x2- x+（ ）2=- +（ ）2
（x- ）2=
x- =± x1= + = =1
x2=- + = =
（2）略
总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结,老师点评）．
（1）移项；
（2）化二次项系数为1；
（3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方；
（4）原方程变形为（x+m）2=n的形式；
（5）如果右边是非负数,就可以直接开平方求出方程的解,如果右边是负数,则一元二次方程无解．
二、探索新知
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0,试推导它的两个根x1= ,x2=
分析：因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去．
移项,得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1,得x2+ x=-
配方,得：x2+ x+（ ）2=- +（ ）2
即（x+ ）2=
∵b2-4ac≥0且4a20
∴ ≥0
直接开平方,得：x+ =±
即x=
∴x1= ,x2=
由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定,因此：
（1）解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根．
（2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
（3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
例1．用公式法解下列方程．
（1）2x2-4x-1=0 （2）5x+2=3x2
（3）（x-2）（3x-5）=0 （4）4x2-3x+1=0
分析：用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可．
（1）a=2,b=-4,c=-1
b2-4ac=（-4）2-4×2×（-1）=240
x=
∴x1= ,x2=
（2）将方程化为一般形式
3x2-5x-2=0
a=3,b=-5,c=-2
b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=490
x=
x1=2,x2=-
（3）将方程化为一般形式
3x2-11x+9=0
a=3,b=-11,c=9
b2-4ac=（-11）2-4×3×9=130
∴x=
∴x1= ,x2=
（3）a=4,b=-3,c=1
b2-4ac=（-3）2-4×4×1=-70
因为在实数范围内,负数不能开平方,所以方程无实数根．
三、巩固练习
教材P42 练习1．（1）、（3）、（5）
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m-2）x-1=0提出了下列问题．
（1）若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程．
（2）若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出．
你能解决这个问题吗?
分析：能．（1）要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足（m+1）≠0．
（2）要使它为一元一次方程,必须满足:
① 或② 或③
（1）存在．根据题意,得：m2+1=2
m2=1 m=±1
当m=1时,m+1=1+1=2≠0
当m=-1时,m+1=-1+1=0（不合题意,舍去）
∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0
a=2,b=-1,c=-1
b2-4ac=（-1）2-4×2×（-1）=1+8=9
x=
x1=,x2=-
因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=- ．
（2）存在．根据题意,得：①m2+1=1,m2=0,m=0
因为当m=0时,（m+1）+（m-2）=2m-1=-1≠0
所以m=0满足题意．
②当m2+1=0,m不存在．
③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0
所以m=-1也满足题意．
当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,
解得：x=-1
当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0
解得x=-
因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1；当m=-1时,其一元一次方程的根为x=- ．
五、归纳小结
本节课应掌握：
（1）求根公式的概念及其推导过程；
（2）公式法的概念；
（3）应用公式法解一元二次方程；
（4）初步了解一元二次方程根的情况．
六、布置作业
1．教材P45 复习巩固4．
2．选用作业设计:
一、选择题
1．用公式法解方程4x2-12x=3,得到（ ）．
A．x= B．x=
C．x= D．x=
2．方程 x2+4 x+6 =0的根是（ ）．
A．x1= ,x2= B．x1=6,x2=
C．x1=2 ,x2= D．x1=x2=-
3．（m2-n2）（m2-n2-2）-8=0,则m2-n2的值是（ ）．
A．4 B．-2 C．4或-2 D．-4或2
二、填空题
1．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是________,条件是________．
2．当x=______时,代数式x2-8x+12的值是-4．
3．若关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+m2+2m-3=0有一根为0,则m的值是_____．
三、综合提高题
1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．
2．设x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根,（1）试推导x1+x2=- ,x1·x2= ；（2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．
3．某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A千瓦时,那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A千瓦时,那么这个月除了交10元用电费外超过部分还要按每千瓦时 元收费．
（1）若某户2月份用电90千瓦时,超过规定A千瓦时,则超过部分电费为多少元?（用A表示）
（2）下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况
月份用电量（千瓦时）交电费总金额（元）
3 80 25
4 45 10
根据上表数据,求电厂规定的A值为多少?
答案:
一、1．D 2．D 3．C
二、1．x= ,b2-4ac≥0 2．4 3．-3
三、1．x= =a±│b│
2．（1）∵x1、x2是ax2+bx+c=0（a≠0）的两根,
∴x1= ,x2=
∴x1+x2= =- ,
x1·x2= · =
（2）∵x1,x2是ax2+bx+c=0的两根,∴ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0
原式=ax13+bx12+c1x1+ax23+bx22+cx2
=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）
=0
3．（1）超过部分电费=（90-A）· =- A2+ A
（2）依题意,得：（80-A）· =15,A1=30（舍去）,A2=50