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1`已知:x=[1991^(1/n)-1991^(-1/n)]/2,n是自然数
求 [x-(1+x^2)^(1/2)]^n 的值
结果是 1991^(n-1)
x=[1991^(1/n)-1991^(-1/n)]/2 分母有理化
对其化简可得 x=[1990*1991^(1/n)]/1991
再设y=1991^(1/n) 则1991^(-1/n)=1/y
则可变为 (y^2+1)/2y 将其代入下式
[x-(1+x^2)^(1/2)]^n
可得[(2xy+y^2+1)/2y]^n
再将y=1991^(1/n) x=[1990*1991^(1/n)]/1991
2`证明任意7个连续自然数中,必有一个与其它6个都互质
自然数都大于1,不能是1-7吧!
相邻的自然数(>1)都互质；差为2的两个自然数唯一的非1正公约数只能是2,或者没有；差为3的两个自然数唯一的非1正公约数只能是3,或者没有；差为4的两个自然数的非1正公约数只能是2,4,或者没有；差为5的两个自然数的唯一非1正公约数只能是5,或者没有；差为6的两个自然数的唯一非1正公约数只能是2,3,6,或者没有.
若必有一个与其它6个都互质,这个数定是奇数.
n 到 n+6七个数
若n为奇数,则n+4,n+2中,必定有一个不能被3整除.
a.若n+4不能被3整除时,它与n+3,n+5,相邻互质,与n,n+2,n+6奇数相差2,4,质因子只可能是2,因为是奇数,互质,与n+1,有因子3不可能.
n+4与其它6个都互质.
b.若n+2不能被3整除时,它与n+1,n+3,相邻互质,与n,n+4,n+6奇数相差2,4,质因子只可能是2,因为是奇数,互质,与n+5,有因子3不可能.
n+2与其它6个都互质
故以奇数开始的七个连续自然数,必有一个与其它6个都互质
在以上证明中,把+改为-,得：
n 到 n-6七个数
若n为奇数,则n-4,n-2中,必定有一个不能被3整除.
c.若n-4不能被3整除时,它与n-3,n-5,相邻互质,与n,n-2,n-6奇数相差2,4,质因子只可能是2,因为是奇数,互质,与n-1,有因子3不可能.
n-4与其它6个都互质.
d.若n-2不能被3整除时,它与n-1,n-3,相邻互质,与n,n-4,n-6奇数相差2,4,质因子只可能是2,因为是奇数,互质,与n-5,有因子3不可能.
n-2与其它6个都互质
故以奇数结尾的七个连续自然数,必有一个与其它6个都互质
由于7个连续自然数必定以奇数开始或者以奇数结尾,从a、b、c、d的证明中,可知任意7个连续自然数(>1)中,必有一个与其它6个都互质
3`三角形ABC,AB=2根2,AC=根2,BC=2,点P 是BC边上任一点,则
PA^2 和PB*PC 的大小关系是什么
余弦定理：
cosA=[(2√2)^2+(√2)^2-2^2]/(2*2√2*√2)=1/2
A=30°
取BC中点N
BP*PCAQ,
AP^2>AQ^2=BQ*QM>BC^2/4>=BP*PC
4`正方形OPQR内接于三角形ABC,已知三角形AOR,BOP,CRQ面积分别是 1,3,1.则正方形OPQR的面积是多少?
图形很简单,就是普通的三角形,和内接正方形
设正方形的边长为a,三角形AOR的OR边上的高为h,
根据三角形的面积公式可知
h=2/a,BP=6/a,QC=2/a,
三角形ABC的BC边上的高H=a+h=a+2/a,
BC=6/a+a+2/a；
将三角形ABC的面积分解成四部分（三角形AOR,BOP,CRQ和正方形OPQR）
列方程得
1/2（6/a+a+2/a)(a+2/a)=3+1+1+a^2
解得a^2=4,即正方形OPQR的面积是4.
若A,C,D 是整数,B是正整数,且 A+B=C,B+C=D,C+D=A,那么
A+B+C+D 的最大值是多少?
因为a+b=c,b+c=d,c+d=a,
把3式加起来可以得a+2b+2c+d=c+d+a,得到c=-2b,
带入其它等式,得到a=-3b,d=-b,所以a+b+c+d=-5b
b>0的整数,所以a+b+c+d
1`已知:x=[1991^(1/n)-1991^(-1/n)]/2,n是自然数
求 [x-(1+x^2)^(1/2)]^n 的值
结果是 1991^(n-1)
x=[1991^(1/n)-1991^(-1/n)]/2 分母有理化
对其化简可得 x=[1990*1991^(1/n)]/1991
再设y=1991^(1/n) 则1991^(-1/n)=1/y
则可变为 (y^2+1)/2y 将其代入下式
[x-(1+x^2)^(1/2)]^n
可得[(2xy+y^2+1)/2y]^n
再将y=1991^(1/n) x=[1990*1991^(1/n)]/1991
2`证明任意7个连续自然数中,必有一个与其它6个都互质
自然数都大于1,不能是1-7吧!
相邻的自然数(>1)都互质；差为2的两个自然数唯一的非1正公约数只能是2,或者没有；差为3的两个自然数唯一的非1正公约数只能是3,或者没有；差为4的两个自然数的非1正公约数只能是2,4,或者没有；差为5的两个自然数的唯一非1正公约数只能是5,或者没有；差为6的两个自然数的唯一非1正公约数只能是2,3,6,或者没有.
若必有一个与其它6个都互质,这个数定是奇数.
n 到 n+6七个数
若n为奇数,则n+4,n+2中,必定有一个不能被3整除.
a.若n+4不能被3整除时,它与n+3,n+5,相邻互质,与n,n+2,n+6奇数相差2,4,质因子只可能是2,因为是奇数,互质,与n+1,有因子3不可能.
n+4与其它6个都互质.
b.若n+2不能被3整除时,它与n+1,n+3,相邻互质,与n,n+4,n+6奇数相差2,4,质因子只可能是2,因为是奇数,互质,与n+5,有因子3不可能.
n+2与其它6个都互质
故以奇数开始的七个连续自然数,必有一个与其它6个都互质
在以上证明中,把+改为-,得：
n 到 n-6七个数
若n为奇数,则n-4,n-2中,必定有一个不能被3整除.
c.若n-4不能被3整除时,它与n-3,n-5,相邻互质,与n,n-2,n-6奇数相差2,4,质因子只可能是2,因为是奇数,互质,与n-1,有因子3不可能.
n-4与其它6个都互质.
d.若n-2不能被3整除时,它与n-1,n-3,相邻互质,与n,n-4,n-6奇数相差2,4,质因子只可能是2,因为是奇数,互质,与n-5,有因子3不可能.
n-2与其它6个都互质
故以奇数结尾的七个连续自然数,必有一个与其它6个都互质
由于7个连续自然数必定以奇数开始或者以奇数结尾,从a、b、c、d的证明中,可知任意7个连续自然数(>1)中,必有一个与其它6个都互质
3`三角形ABC,AB=2根2,AC=根2,BC=2,点P 是BC边上任一点,则
PA^2 和PB*PC 的大小关系是什么
余弦定理：
cosA=[(2√2)^2+(√2)^2-2^2]/(2*2√2*√2)=1/2
A=30°
取BC中点N
BP*PCAQ,
AP^2>AQ^2=BQ*QM>BC^2/4>=BP*PC
4`正方形OPQR内接于三角形ABC,已知三角形AOR,BOP,CRQ面积分别是 1,3,1.则正方形OPQR的面积是多少?
图形很简单,就是普通的三角形,和内接正方形
设正方形的边长为a,三角形AOR的OR边上的高为h,
根据三角形的面积公式可知
h=2/a,BP=6/a,QC=2/a,
三角形ABC的BC边上的高H=a+h=a+2/a,
BC=6/a+a+2/a；
将三角形ABC的面积分解成四部分（三角形AOR,BOP,CRQ和正方形OPQR）
列方程得
1/2（6/a+a+2/a)(a+2/a)=3+1+1+a^2
解得a^2=4,即正方形OPQR的面积是4.
若A,C,D 是整数,B是正整数,且 A+B=C,B+C=D,C+D=A,那么
A+B+C+D 的最大值是多少?
因为a+b=c,b+c=d,c+d=a,
把3式加起来可以得a+2b+2c+d=c+d+a,得到c=-2b,
带入其它等式,得到a=-3b,d=-b,所以a+b+c+d=-5b
b>0的整数,所以a+b+c+d