优质解答
勾股定理单元测试卷
一、选择题（每小题3分,共30分）
1. 直角三角形一直角边长为12,另两条边长均为自然数,则其周长为( ).
（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm,另一直角边长为6 cm,则它的斜边长
（A）4 cm\x09 （B）8 cm\x09 （C）10 cm\x09\x09（D）12 cm
3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（ ）
（A）25\x09\x09\x09（B）14\x09\x09\x09（C）7\x09\x09\x09（D）7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
5. 五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是（ ）
6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.
7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5
8. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°,AC=30米,AB=50米,如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮元计算,那么共需要资金（ ）.
（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元
10.如图,AB⊥CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5,那么AC的长为（ ）.
（A）12 （B）7 （C）5 （D）13
（第10题） （第11题） （第14题）
二、填空题（每小题3分,24分）
11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要__________米.
12. 在直角三角形中,斜边=2,则=______.
13. 直角三角形的三边长为连续偶数,则其周长为 .
14. 如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆,则这个半圆的面积是____________.
（第15题） （第16题） （第17题）
15. 如图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞___________米.
16. 如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分线交BC于D若BC=8,AD=5,则AC等于______________.
17. 如图,四边形是正方形,垂直于,且=3,=4,阴影部分的面积是______.
18. 如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2.
三、解答题（每小题8分,共40分）
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树,恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位）,另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然,两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远?
20. 如图,已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
21. 如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
22. 如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.
23. 如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?
四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向100km的B处有一台风中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?
25.（14分）△ABC中,BC,AC,AB,若∠C=90°,如图（1）,根据勾股定理,则,若△ABC不是直角三角形,如图（2）和图（3）,请你类比勾股定理,试猜想与的关系,并证明你的结论.
参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；
6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分,24分）
11.7；12.8；13.24；14.； 15. 13；
16.4；17.19；18.49；
三、解答题
19.20；
20. 设BD=x,则AB=8-x
由勾股定理,可以得到AB2=BD2+AD2,也就是(8-x)2=x2+42.
所以x=3,所以AB=AC=5,BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′,连结B A′,与CD交于点E,则E点即为所求.总费用150万元.
22.116m2；
23. 0.8米；
四、综合探索
24.4小时,2.5小时.
25. 若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2 当△ABC是锐角三角形时,
证明：过点A作AD⊥CB,垂足为D.设CD为x,则有DB=a－x
根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2
即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2
∴a2＋b2＝c2＋2ax
∵a>0,x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
当△ABC是钝角三角形时,
证明：过点B作BDAC,交AC的延长线于点D.
设CD为x,则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得 (b＋x)2＋a2―x 2＝c2
即 b2＋2bx＋x2＋a2―x 2＝c2
∴a2＋b2＋2bx＝c2
∵b>0,x>0
∴2bx>0
∴a2+b2
勾股定理单元测试卷
一、选择题（每小题3分,共30分）
1. 直角三角形一直角边长为12,另两条边长均为自然数,则其周长为( ).
（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定
2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm,另一直角边长为6 cm,则它的斜边长
（A）4 cm\x09 （B）8 cm\x09 （C）10 cm\x09\x09（D）12 cm
3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（ ）
（A）25\x09\x09\x09（B）14\x09\x09\x09（C）7\x09\x09\x09（D）7或25
4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( )
（A）13 （B）8 （C）25 （D）64
5. 五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是（ ）
6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )
（A） 钝角三角形 （B） 锐角三角形 （C） 直角三角形 （D） 等腰三角形.
7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )
（A） 25 （B） 12.5 （C） 9 （D） 8.5
8. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )
（A） 等边三角形 （B） 钝角三角形
（C） 直角三角形 （D） 锐角三角形.
9.△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°,AC=30米,AB=50米,如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮元计算,那么共需要资金（ ）.
（A）50元 （B）600元 （C）1200元 （D）1500元
10.如图,AB⊥CD于B,△ABD和△BCE都是等腰直角三角形,如果CD=17,BE=5,那么AC的长为（ ）.
（A）12 （B）7 （C）5 （D）13
（第10题） （第11题） （第14题）
二、填空题（每小题3分,24分）
11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要__________米.
12. 在直角三角形中,斜边=2,则=______.
13. 直角三角形的三边长为连续偶数,则其周长为 .
14. 如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4.以斜边AB为直径作半圆,则这个半圆的面积是____________.
（第15题） （第16题） （第17题）
15. 如图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞___________米.
16. 如图,△ABC中,∠C=90°,AB垂直平分线交BC于D若BC=8,AD=5,则AC等于______________.
17. 如图,四边形是正方形,垂直于,且=3,=4,阴影部分的面积是______.
18. 如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为___________cm2.
三、解答题（每小题8分,共40分）
19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：
“小溪边长着两棵棕榈树,恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度单位）,另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然,两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼,它们立刻飞去抓鱼,并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远?
20. 如图,已知一等腰三角形的周长是16,底边上的高是4.求这个三角形各边的长.
21. 如图,A、B两个小集镇在河流CD的同侧,分别到河的距离为AC=10千米,BD=30千米,且CD=30千米,现在要在河边建一自来水厂,向A、B两镇供水,铺设水管的费用为每千米3万,请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少?
22. 如图所示的一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.
23. 如图,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上,这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米,如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米,那么梯足将向外移多少米?
四、综合探索（共26分）
24.（12分）如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向100km的B处有一台风中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?
25.（14分）△ABC中,BC,AC,AB,若∠C=90°,如图（1）,根据勾股定理,则,若△ABC不是直角三角形,如图（2）和图（3）,请你类比勾股定理,试猜想与的关系,并证明你的结论.
参考答案
一、选择题（每小题3分,共30分）
1.（D）；2.（C）；3.（D）；4.（B）；5.（C）；
6.（C）；7.（B）；8.（C）；9.（B）；10.（D）；
二、填空题（每小题3分,24分）
11.7；12.8；13.24；14.； 15. 13；
16.4；17.19；18.49；
三、解答题
19.20；
20. 设BD=x,则AB=8-x
由勾股定理,可以得到AB2=BD2+AD2,也就是(8-x)2=x2+42.
所以x=3,所以AB=AC=5,BC=6
21.作A点关于CD的对称点A′,连结B A′,与CD交于点E,则E点即为所求.总费用150万元.
22.116m2；
23. 0.8米；
四、综合探索
24.4小时,2.5小时.
25. 若△ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2
若△ABC是钝角三角形,∠C为钝角,则有a2+b2 当△ABC是锐角三角形时,
证明：过点A作AD⊥CB,垂足为D.设CD为x,则有DB=a－x
根据勾股定理得 b2－x2＝c2―(a―x) 2
即 b2－x2＝c2―a2＋2ax―x 2
∴a2＋b2＝c2＋2ax
∵a>0,x>0
∴2ax>0
∴a2+b2>c2
当△ABC是钝角三角形时,
证明：过点B作BDAC,交AC的延长线于点D.
设CD为x,则有DB2=a2－x2
根据勾股定理得 (b＋x)2＋a2―x 2＝c2
即 b2＋2bx＋x2＋a2―x 2＝c2
∴a2＋b2＋2bx＝c2
∵b>0,x>0
∴2bx>0
∴a2+b2