自学大专高数教材中的数列极限四则运算的证明例题看不懂？请高手指教！下面是原例题。例题中怎么突然冒出个ε/2M来，是怎么推出来的？自学很痛苦，经常碰到解决不了的问题。 谢谢高手的讲解！ 数列极限的四则运算证明设limAn=A,limBn=B,则有 法则1:lim(An+Bn)=A+B 法则2:lim(An-Bn)=A-B 法则3:lim(An•Bn)=AB 法则4:lim(An/Bn)=A/B. (n趋于+∞的符号就先省略了。)证明法则3:lim(An•Bn)=AB （其他的留给
2019-05-30
自学大专高数教材中的数列极限四则运算的证明例题看不懂？请高手指教！下面是原例题。例题中怎么突然冒出个ε/2M来，是怎么推出来的？自学很痛苦，经常碰到解决不了的问题。 谢谢高手的讲解！
数列极限的四则运算证明
设limAn=A,limBn=B,则有
法则1:lim(An+Bn)=A+B
法则2:lim(An-Bn)=A-B
法则3:lim(An•Bn)=AB
法则4:lim(An/Bn)=A/B.
(n趋于+∞的符号就先省略了。)
证明法则3:lim(An•Bn)=AB （其他的留给读者自己证明）
要证明An•Bn收敛于AB，就是要指出对于任意给定的ε＞0，必有正整数N存在，使n＞N时，不等式|An•Bn-AB|＜ε成立，但
An•Bn-AB=（An•Bn-A• Bn）+（A •Bn- AB），
故有| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B| ①
由于Bn收敛于B，故必有界，即存在一个与n无关的正数M，
使 |Bn|＜M （n=1，2，3…）成立。
又，由于当n→∞时，An→A, Bn→B,所以对于任意给定的ε＞0，无论怎样小，必有正整数N1和N2存在，使n＞N1时，|An-A|＜ε/2M成立：使n＞N2时，|Bn-B|＜ε/2|A|成立。取N1和N2中大的一个作为N，记作N=max(N1,N2),那末当n＞N时，不等式
|An-A|＜ε/2M ②
|Bn-B|＜ε/2|A| ③
同时成立。
由于不等式①②③，当n＞N时，我们有
| An•Bn-AB |＜ε/2+ε/2=ε
这就是说，An•Bn的极限存在，且等于AB。
实在是看不懂这句：“使n＞N1时，|An-A|＜ε/2M成立：使n＞N2时，|Bn-B|＜ε/2|A|成立。”怎么突然冒出个ε/2M来，不应该是|An-A|＜ε吗？
优质解答
首先要注意，目标是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以证明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。于是通过绝对值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到与这两个式子（|An-A|和|Bn-B|）的关系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，问题就解决了。这两个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),为了清晰起见，分母加了括号。|A|是个常数，已经没有问题，但|Bn|不是常数，于是根据收敛数列的有界性，即：|Bn|＜M，找到与n无关的正常数M。于是|An-A||Bn|
首先要注意，目标是| An•Bn-AB |＜ε，但已知的是：limAn=A,limBn=B，所以证明中，一定要用到|An-A|和|Bn-B|。于是通过绝对值不等式| An•Bn-AB | ≤|An-A||Bn|+|A||Bn-B|找到与这两个式子（|An-A|和|Bn-B|）的关系。如果|An-A||Bn|＜ε/2，|A||Bn-B|＜ε/2，问题就解决了。这两个不等式等价于：|An-A|＜ε/(2|Bn|)，|Bn-B|＜ε/(2|A|),为了清晰起见，分母加了括号。|A|是个常数，已经没有问题，但|Bn|不是常数，于是根据收敛数列的有界性，即：|Bn|＜M，找到与n无关的正常数M。于是|An-A||Bn|