优质解答
1 全等三角形的对应边、对应角相等
2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
23 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
27 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
34定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
35逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
36勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2
37勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形
38定理 四边形的内角和等于360°
39四边形的外角和等于360°
40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
41推论 任意多边的外角和等于360°
42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
44推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
49平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
51矩形性质定理2 矩形的对角线相等
52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
56菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2
57菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
62定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
63逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一
点平分,那么这两个图形关于这一点对称
64等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
65等腰梯形的两条对角线相等
66等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
67对角线相等的梯形是等腰梯形
68平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
69 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
70 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第
三边
71 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它
的一半
72 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
73 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
74 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
75 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
76 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例
77 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例
78 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
79 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
80 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似
81 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）
82 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
83 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）
84 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）
85 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
86 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
87 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
88 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
89 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
90任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
91圆是定点的距离等于定长的点的集合
92圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
93圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
94同圆或等圆的半径相等
95到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半
径的圆
96和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直
平分线
97到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
98到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
99定理 不在同一直线上的三点确定一个圆.
100垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
101推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
102推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
103圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
104定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦
相等,所对的弦的弦心距相等
105推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
106定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
107推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
108推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
109推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
110定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
的内对角
111①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
112切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
113切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
114推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
115推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
116切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
117圆的外切四边形的两组对边的和相等
118弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
119推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
120相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积
相等
121推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
122切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
123推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
124如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
125①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
126定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
127定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
128定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
129正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
130定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
131正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
132正三角形面积√3a／4 a表示边长
133如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
360°,因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
134弧长计算公式：L=n兀R／180
135扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
136内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
例题：
1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式,则称y是x的函数.
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；
（2）当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数.
2、图象：一次函数的图象是一条直线
（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0,b）；与x轴交于（- ,0）.
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0,0）和（1,k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ,0）和（0,b）的一条直线.
（3）由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行.
3、一次函数图象的性质：
（1）图象在平面直角坐标系中的位置:
（2）增减性：
k>0时,y随x增大而增大；
k<0时,y随x增大而减小.
4、求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种：
一是由已知函数推导,如例题1；
二是由实际问题列出两个未知数的方程,再转化为函数解析式,如例题4的第一问.
三是用待定系数法求函数解析式,如例2的第二小题、例7.
其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程,得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中.
二、例题举例：
例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2,求变量y与x的函数关系.
分析：已知两组函数关系,其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x的关系.
∵ y=2y1
y1=3x+2,
∴ y=2(3x+2)=6x+4,
即变量y与x的关系为：y=6x+4.
例2、解答下列题目
（1）（甘肃省中考题）已知直线 与y轴交于点A,那么点A的坐标是（ ）.
（A）（0,–3） （B） （C） （D）（0,3）
（2）(杭州市中考题)已知正比例函数 ,当x=–3时,y=6．那么该正比例函数应为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
（3）（福州市中考题）一次函数y=x+1的图象,不经过的象限是（ ）.
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
分析与答案：
(1) 直线与y轴交点坐标,特点是横坐标是0,纵坐标可代入函数关系求得.
或者直接利用直线和y轴交点为（0,b）,得到交点（0,3）,答案为D.
(2) 求解析式的关键是确定系数k,本题已知x=-3时,y=6,代入到y=kx中,解析式可确定.答案D: y=-2x.
(3) 由一次函数y=kx+b的图象性质,有以下结论：
,
题目中y=x+1,k=1>0,则函数图象必过一、三象限；b=1>0,则直线和y轴交于正半轴,可以判定直线位置,也可以画草图,或取两个点画草图判断,图像不过第四象限.
答案：D.
例3、（辽宁省中考题）某单位急需用车；但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同.设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月费用是y1元,应付给出租车公司的月费用是y2元,y1、y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图,观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算?
（2）每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租哪家的车合算?
分析：因给出了两个函数的图象可知一个是一次函数,一个是一次函数的特殊形式正比例函数,两条直线交点的横坐标为1500,表明当x=1500时,两条直线的函数值y相等,并且根据图像可以知道x>1500时,y2在y1上方；0答：(1)每月行驶的路程小于1500千米时,租国营公司的车合算.
[或答:当0≤x＜1500(千米)时,租国营公司的车合算].
(2)每月行驶的路程等于1500千米时,租两家车的费用相同.
(3)如果每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租个体车主的车合算.
例4、（河北省中考题）某工厂有甲、乙两条生产线先后投产.在乙生产线投产以前,甲生产线已生产了200吨成品；从乙生产线投产开始,甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品.
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后,各自总产量y（吨）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的函数关系式,并求出第几天结束时,甲、乙两条生产线的总产量相同；
（2）在如图所示的直角坐标系中,作出上述两个函数在第一象限内的图象；观察图象,分别指出第15天和第25天结束时,哪条生产线的总产量高?
分析：（1）根据给出的条件先列出y与x的函数式, =20x+200, ＝30x,当 = 时,求出x.
（2）在给出的直角坐标系中画出两个函数的图象,根据点的坐标可以看出第15天和25天结束时,甲、乙两条生产线的总产量的高低.
（1）由题意可得：
甲生产线生产时对应的函数关系式是：y=20x+200,
乙生产线生产时对应的函数关系式是：y=30x,
令20x+200=30x,解得x=20,即第20天结束时,两条生产线的产量相同.
（2）由（1）可知,甲生产线所对应的生产函数图象一定经过两点A（0,200）和
B（20,600）；
乙生产线所对应的生产函数图象一定经过两点O（0,0）和B（20,600）.
因此图象如右图所示,由图象可知：第15天结束时,甲生产线的总产量高；第25天结束时,乙生产线的总产量高.
例5．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行,且与直线y=-3(x-6)相交,交点在y轴上,求此直线解析式.
分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向,由b来定与y轴的交点,若两直线平行,则解析式的一次项系数k相等.例如y=2x,y=2x+3的图象平行.
∵ y=kx+b与y=5-4x平行,
∴ k=-4,
∵ y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴,
∴ b=18,
∴ y=-4x+18.
说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向,由b来定点,即函数图象平行于直线y=kx,经过(0,b)点,反之亦成立,即由函数图象方向定k,由与y轴交点定b.
例6．直线与x轴交于点A（-4,0）,与y轴交于点B,若点B到x轴的距离为2,求直线的解析式.
∵ 点B到x轴的距离为2,
∴ 点B的坐标为（0,±2）,
设直线的解析式为y=kx±2,
∵ 直线过点A（-4,0）,
∴ 0=-4k±2,
解得：k=± ,
∴直线AB的解析式为y= x+2或y=- x-2.
说明：此例看起来很简单,但实际上隐含了很多推理过程,而这些推理是求一次函数解析式必备的.
（1）图象是直线的函数是一次函数；
（2）直线与y轴交于B点,则点B（0,yB）；
（3）点B到x轴距离为2,则|yB|=2；
（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项,即b=yB；
（5）已知直线与y轴交点的纵坐标yB,可设y=kx+yB；
下面只需待定k即可.
三、提高与思考
例1．已知一次函数y1=(n-2)x+n的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断y2=(3- )xn+2是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性.
依题意,得
解得n=-1,
∴ y1=-3x-1,
y2=(3- )x, y2是正比例函数；
y1=-3x-1的图象经过第二、三、四象限,y1随x的增大而减小；
y2=(3- )x的图象经过第一、三象限,y2随x的增大而增大.
说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n,故求解析式的关键是构造关于n的方程,此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程.
例2．已知一次函数的图象,交x轴于A（-6,0）,交正比例函数的图象于点B,且点B在第三象限,它的横坐标为-2,△AOB的面积为6平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式.
分析：自画草图如下：
设正比例函数y=kx,
一次函数y=ax+b,
∵ 点B在第三象限,横坐标为-2,
设B（-2,yB）,其中yB<0,
∵ =6,
∴ AO•|yB|=6,
∴ yB=-2,
把点B（-2,-2）代入正比例函数y=kx,得k=1,
把点A（-6,0）、B（-2,-2）代入y=ax+b,
得
解得：
∴ y=x, y=- x-3即所求.
说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式,注意两个函数中的系数要用不同字母表示；
（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标.这个转化实质含有两步：一是利用面积公式 AO•
BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2,再利用|yB|=BD及点B在第三象限计算出yB=-2.若去掉第三象限的条件,想一想点B的位置有几种可能,结果会有什么变化?（答：有两种可能,点B可能在第二象限（-2,2）,结果增加一组y=-x, y= (x+3). （有答案,自己去看吧）
1 全等三角形的对应边、对应角相等
2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
23 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
27 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
34定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
35逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
36勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2
37勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形
38定理 四边形的内角和等于360°
39四边形的外角和等于360°
40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
41推论 任意多边的外角和等于360°
42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
44推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
49平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
51矩形性质定理2 矩形的对角线相等
52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
56菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2
57菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
62定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
63逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一
点平分,那么这两个图形关于这一点对称
64等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
65等腰梯形的两条对角线相等
66等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
67对角线相等的梯形是等腰梯形
68平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
69 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分
1 全等三角形的对应边、对应角相等
2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
23 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
27 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
34定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
35逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
36勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2
37勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形
38定理 四边形的内角和等于360°
39四边形的外角和等于360°
40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
41推论 任意多边的外角和等于360°
42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
44推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
49平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
51矩形性质定理2 矩形的对角线相等
52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
56菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2
57菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
62定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
63逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一
点平分,那么这两个图形关于这一点对称
64等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
65等腰梯形的两条对角线相等
66等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
67对角线相等的梯形是等腰梯形
68平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
69 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
70 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第
三边
71 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它
的一半
72 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的
一半 L=（a+b）÷2 S=L×h
73 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc
如果ad=bc,那么a:b=c:d
74 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d
75 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么
(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b
76 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应
线段成比例
77 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例
78 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
79 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
80 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似
81 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）
82 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
83 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）
84 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）
85 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三
角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
86 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平
分线的比都等于相似比
87 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比
88 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
89 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
90任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等
于它的余角的正切值
91圆是定点的距离等于定长的点的集合
92圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
93圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
94同圆或等圆的半径相等
95到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半
径的圆
96和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直
平分线
97到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
98到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距
离相等的一条直线
99定理 不在同一直线上的三点确定一个圆.
100垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
101推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
102推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
103圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
104定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦
相等,所对的弦的弦心距相等
105推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两
弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
106定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
107推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
108推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所
对的弦是直径
109推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
110定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它
的内对角
111①直线L和⊙O相交 d＜r
②直线L和⊙O相切 d=r
③直线L和⊙O相离 d＞r
112切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
113切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
114推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
115推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
116切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
117圆的外切四边形的两组对边的和相等
118弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
119推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
120相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积
相等
121推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
122切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
123推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
124如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
125①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r
③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)
④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)
126定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
127定理 把圆分成n(n≥3):
⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形
⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
128定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
129正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n
130定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形
131正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长
132正三角形面积√3a／4 a表示边长
133如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为
360°,因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4
134弧长计算公式：L=n兀R／180
135扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2
136内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)
例题：
1、一次函数：若两个变量x,y存在关系为y=kx+b (k≠0, k,b为常数)的形式,则称y是x的函数.
注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1；
（2）当b=0时,y=kx,y叫x的正比例函数.
2、图象：一次函数的图象是一条直线
（1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0,b）；与x轴交于（- ,0）.
（2）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是经过（0,0）和（1,k）的一条直线；一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过（- ,0）和（0,b）的一条直线.
（3）由图象可以知道,直线y=kx+b与直线y=kx平行,例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行.
3、一次函数图象的性质：
（1）图象在平面直角坐标系中的位置:
（2）增减性：
k>0时,y随x增大而增大；
k<0时,y随x增大而减小.
4、求一次函数解析式的方法
求函数解析式的方法主要有三种：
一是由已知函数推导,如例题1；
二是由实际问题列出两个未知数的方程,再转化为函数解析式,如例题4的第一问.
三是用待定系数法求函数解析式,如例2的第二小题、例7.
其步骤是：①根据题给条件写出含有待定系数的解析式；②将x、y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程,得到待定系数的具体数值；④将求出的待定系数代入要求的函数解析式中.
二、例题举例：
例1、已知变量y与y1的关系为y=2y1,变量y1与x的关系为y1=3x+2,求变量y与x的函数关系.
分析：已知两组函数关系,其中共同的变量是y1,所以通过y1可以找到y与x的关系.
∵ y=2y1
y1=3x+2,
∴ y=2(3x+2)=6x+4,
即变量y与x的关系为：y=6x+4.
例2、解答下列题目
（1）（甘肃省中考题）已知直线 与y轴交于点A,那么点A的坐标是（ ）.
（A）（0,–3） （B） （C） （D）（0,3）
（2）(杭州市中考题)已知正比例函数 ,当x=–3时,y=6．那么该正比例函数应为（ ）.
（A） （B） （C） （D）
（3）（福州市中考题）一次函数y=x+1的图象,不经过的象限是（ ）.
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
分析与答案：
(1) 直线与y轴交点坐标,特点是横坐标是0,纵坐标可代入函数关系求得.
或者直接利用直线和y轴交点为（0,b）,得到交点（0,3）,答案为D.
(2) 求解析式的关键是确定系数k,本题已知x=-3时,y=6,代入到y=kx中,解析式可确定.答案D: y=-2x.
(3) 由一次函数y=kx+b的图象性质,有以下结论：
,
题目中y=x+1,k=1>0,则函数图象必过一、三象限；b=1>0,则直线和y轴交于正半轴,可以判定直线位置,也可以画草图,或取两个点画草图判断,图像不过第四象限.
答案：D.
例3、（辽宁省中考题）某单位急需用车；但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同.设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月费用是y1元,应付给出租车公司的月费用是y2元,y1、y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图,观察图象回答下列问题：
（1）每月行驶的路程在什么范围内时,租国营公司的车合算?
（2）每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?
（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租哪家的车合算?
分析：因给出了两个函数的图象可知一个是一次函数,一个是一次函数的特殊形式正比例函数,两条直线交点的横坐标为1500,表明当x=1500时,两条直线的函数值y相等,并且根据图像可以知道x>1500时,y2在y1上方；0答：(1)每月行驶的路程小于1500千米时,租国营公司的车合算.
[或答:当0≤x＜1500(千米)时,租国营公司的车合算].
(2)每月行驶的路程等于1500千米时,租两家车的费用相同.
(3)如果每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租个体车主的车合算.
例4、（河北省中考题）某工厂有甲、乙两条生产线先后投产.在乙生产线投产以前,甲生产线已生产了200吨成品；从乙生产线投产开始,甲、乙两条生产线每天分别生产20吨和30吨成品.
（1）分别求出甲、乙两条生产线投产后,各自总产量y（吨）与从乙开始投产以来所用时间x（天）之间的函数关系式,并求出第几天结束时,甲、乙两条生产线的总产量相同；
（2）在如图所示的直角坐标系中,作出上述两个函数在第一象限内的图象；观察图象,分别指出第15天和第25天结束时,哪条生产线的总产量高?
分析：（1）根据给出的条件先列出y与x的函数式, =20x+200, ＝30x,当 = 时,求出x.
（2）在给出的直角坐标系中画出两个函数的图象,根据点的坐标可以看出第15天和25天结束时,甲、乙两条生产线的总产量的高低.
（1）由题意可得：
甲生产线生产时对应的函数关系式是：y=20x+200,
乙生产线生产时对应的函数关系式是：y=30x,
令20x+200=30x,解得x=20,即第20天结束时,两条生产线的产量相同.
（2）由（1）可知,甲生产线所对应的生产函数图象一定经过两点A（0,200）和
B（20,600）；
乙生产线所对应的生产函数图象一定经过两点O（0,0）和B（20,600）.
因此图象如右图所示,由图象可知：第15天结束时,甲生产线的总产量高；第25天结束时,乙生产线的总产量高.
例5．直线y=kx+b与直线y=5-4x平行,且与直线y=-3(x-6)相交,交点在y轴上,求此直线解析式.
分析：直线y=kx+b的位置由系数k、b来决定：由k来定方向,由b来定与y轴的交点,若两直线平行,则解析式的一次项系数k相等.例如y=2x,y=2x+3的图象平行.
∵ y=kx+b与y=5-4x平行,
∴ k=-4,
∵ y=kx+b与y=-3(x-6)=-3x+18相交于y轴,
∴ b=18,
∴ y=-4x+18.
说明：一次函数y=kx+b图象的位置由系数k、b来决定：由k来定方向,由b来定点,即函数图象平行于直线y=kx,经过(0,b)点,反之亦成立,即由函数图象方向定k,由与y轴交点定b.
例6．直线与x轴交于点A（-4,0）,与y轴交于点B,若点B到x轴的距离为2,求直线的解析式.
∵ 点B到x轴的距离为2,
∴ 点B的坐标为（0,±2）,
设直线的解析式为y=kx±2,
∵ 直线过点A（-4,0）,
∴ 0=-4k±2,
解得：k=± ,
∴直线AB的解析式为y= x+2或y=- x-2.
说明：此例看起来很简单,但实际上隐含了很多推理过程,而这些推理是求一次函数解析式必备的.
（1）图象是直线的函数是一次函数；
（2）直线与y轴交于B点,则点B（0,yB）；
（3）点B到x轴距离为2,则|yB|=2；
（4）点B的纵坐标等于直线解析式的常数项,即b=yB；
（5）已知直线与y轴交点的纵坐标yB,可设y=kx+yB；
下面只需待定k即可.
三、提高与思考
例1．已知一次函数y1=(n-2)x+n的图象与y轴交点的纵坐标为-1,判断y2=(3- )xn+2是什么函数,写出两个函数的解析式,并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性.
依题意,得
解得n=-1,
∴ y1=-3x-1,
y2=(3- )x, y2是正比例函数；
y1=-3x-1的图象经过第二、三、四象限,y1随x的增大而减小；
y2=(3- )x的图象经过第一、三象限,y2随x的增大而增大.
说明：由于一次函数的解析式含有待定系数n,故求解析式的关键是构造关于n的方程,此题利用“一次函数解析式的常数项就是图象与y轴交点纵坐标”来构造方程.
例2．已知一次函数的图象,交x轴于A（-6,0）,交正比例函数的图象于点B,且点B在第三象限,它的横坐标为-2,△AOB的面积为6平方单位,求正比例函数和一次函数的解析式.
分析：自画草图如下：
设正比例函数y=kx,
一次函数y=ax+b,
∵ 点B在第三象限,横坐标为-2,
设B（-2,yB）,其中yB<0,
∵ =6,
∴ AO•|yB|=6,
∴ yB=-2,
把点B（-2,-2）代入正比例函数y=kx,得k=1,
把点A（-6,0）、B（-2,-2）代入y=ax+b,
得
解得：
∴ y=x, y=- x-3即所求.
说明：（1）此例需要利用正比例函数、一次函数定义写出含待定系数的结构式,注意两个函数中的系数要用不同字母表示；
（2）此例需要把条件（面积）转化为点B的坐标.这个转化实质含有两步：一是利用面积公式 AO•
BD=6（过点B作BD⊥AO于D）计算出线段长BD=2,再利用|yB|=BD及点B在第三象限计算出yB=-2.若去掉第三象限的条件,想一想点B的位置有几种可能,结果会有什么变化?（答：有两种可能,点B可能在第二象限（-2,2）,结果增加一组y=-x, y= (x+3). （有答案,自己去看吧）
1 全等三角形的对应边、对应角相等
2边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
3 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
4 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
5 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等
6 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
7 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
8 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
9 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
10 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）
21 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
22 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
23 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
24 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）
25 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形
26 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
27 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
28 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
29 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
30 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
31 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
32 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
33 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
34定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
35逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
36勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2
37勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形
38定理 四边形的内角和等于360°
39四边形的外角和等于360°
40多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°
41推论 任意多边的外角和等于360°
42平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等
43平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等
44推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
45平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分
46平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
47平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
48平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
49平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
50矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角
51矩形性质定理2 矩形的对角线相等
52矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形
53矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形
54菱形性质定理1 菱形的四条边都相等
55菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
56菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2
57菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形
58菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
59正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
60正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
61定理1 关于中心对称的两个图形是全等的
62定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
63逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一
点平分,那么这两个图形关于这一点对称
64等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
65等腰梯形的两条对角线相等
66等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
67对角线相等的梯形是等腰梯形
68平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
69 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分