1对数的概念
如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
由定义知：
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.
2对数式与指数式的互化
式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)
3对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0?
②logaan=? (n∈R)
③对数式与指数式的比较.(学生填表)
式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数
b—
N—a—对数的底数
b—
N—运
算
性
质am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义中,为什么要规定a＞0,且a≠1?
理由如下：
①若a＜0,则N的某些值不存在,例如log-28?
②若a=0,则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一,可以为任何正数?
③若a=1时,则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一,可以为任何正数?
为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?
解题方法技巧
1
(1)将下列指数式写成对数式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73.
（2）将下列对数式写成指数式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg0.01=-2；
⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.
解析由对数定义：ab=N?logaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解题方法
指数式与对数式的互化,必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根据下列条件分别求x的值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)对数式化指数式,得：x=8-23=?
(2)log5x=20=1. x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x. x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1,x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6,
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.
解题技巧
①转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式的相互转化.
②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值；
思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值?
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1.
解题技巧
有时对数运算比指数运算来得方便,因此以指数形式出现的式子,可利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算.4
设x,y均为正数,且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.
解析一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应,故y是x的函数,从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题,怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解题规律
对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.
∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值;
(4)求7lg20·12lg0.7的值.
解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.
(2)转化为log32的关系式.
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系,能否从中求出ab的值呢?
(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积,且指数含常用对数,
设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx,再求x?
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.
∴ab=1或ab=4,这里a>0,b>0.
若ab=1,则a-2b0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；
(2)logab·logbc=logac；
(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；
(4)loganbm=mnlogab.
解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.
(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.
(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.
(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.
解答(1)设logaN=b,则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
(2)由(1)logbc=logaclogab.
所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.
(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.
解题规律
(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式,(2)(3)(4)是(1)的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式,既要善于正用,也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.
7
已知log67=a,3b=4,求log127.
解析依题意a,b是常数,求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能否将log127转化为以6为底的对数,进而转化为以3为底呢?
解答已知log67=a,log34=b,
∴log127=log67log612=a1+log62.
又log62=log32log36=log321+log32,
由log34=b,得2log32=b.
∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.
∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.
解题技巧
利用已知条件求对数的值,一般运用换底公式和对数运算法则,把对数用已知条件表示出来,这是常用的方法技巧?8
已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.
(1)求满足2x=py的p值；
(2)求与p最接近的整数值；
(3)求证：12y=1z-1x.
解析已知条件中给出了指数幂的连等式,能否引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?又想,对于指数式能否用对数的方法去解答?
解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316,
∴p=log316.
解法二设3x=4y=m,取对数得：
x·lg3=lgm,ylg4=lgm,
∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.
由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,
∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.
(2)∵2=log390,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式,想：能否将真数中的一次式也转化为二次,进而应用a2+b2=7ab?
解答logma+b3=logm(a+b3)212=
解题技巧
①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.
②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式,以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.
∵a2+b2=7ab,
∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),
即logma+b3=12(logma+logmb).
思维拓展发散
1
数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤alogk44>logk66>0,∴3x0).
∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.
①当a=0时,解集｛x|x 1对数的概念
如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
由定义知：
①负数和零没有对数;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特别地,以10为底的对数叫常用对数,记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数,记作logeN,简记为lnN.
2对数式与指数式的互化
式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数)
3对数的运算性质
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1,M>0,N>0?
②logaan=? (n∈R)
③对数式与指数式的比较.(学生填表)
式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数
b—
N—a—对数的底数
b—
N—运
算
性
质am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义中,为什么要规定a＞0,且a≠1?
理由如下：
①若a＜0,则N的某些值不存在,例如log-28?
②若a=0,则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一,可以为任何正数?
③若a=1时,则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一,可以为任何正数?
为了避免上述各种情况,所以规定对数式的底是一个不等于1的正数?
解题方法技巧
1
(1)将下列指数式写成对数式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5?73.
（2）将下列对数式写成指数式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg0.01=-2；
⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.
解析由对数定义：ab=N?logaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解题方法
指数式与对数式的互化,必须并且只需紧紧抓住对数的定义：ab=N?logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根据下列条件分别求x的值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)对数式化指数式,得：x=8-23=?
(2)log5x=20=1. x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x. x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1,x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6,
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.
解题技巧
①转化的思想是一个重要的数学思想,对数式与指数式有着密切的关系,在解决有关问题时,经常进行着两种形式的相互转化.
②熟练应用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一,已知对数式的值,要求指数式的值,可将对数式转化为指数式,再利用指数式的运算求值；
思路二,对指数式的两边取同底的对数,再利用对数式的运算求值?
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
解法二对所求指数式两边取以a为底的对数得
logaA=loga(x512y-13)
=512logax-13logay=512×4-13×5=0,
∴A=1.
解题技巧
有时对数运算比指数运算来得方便,因此以指数形式出现的式子,可利用取对数的方法,把指数运算转化为对数运算.4
设x,y均为正数,且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范围.
解析一个等式中含两个变量x、y,对每一个确定的正数x由等式都有惟一的正数y与之对应,故y是x的函数,从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值范围实际上是一个求函数值域的问题,怎样才能建立这种函数关系呢?能否对已知的等式两边也取对数?
解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1,
两边取对数得：lgx+(1+lgx)lgy=0.
即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1).
令lgx=t, 则lgy=-t1+t(t≠-1).
∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t.
解题规律
对一个等式两边取对数是解决含有指数式和对数式问题的常用的有效方法；而变量替换可把较复杂问题转化为较简单的问题.设S=t21+t,得关于t的方程t2-St-S=0有实数解.
∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值;
(4)求7lg20·12lg0.7的值.
解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2与lg5的关系式.
(2)转化为log32的关系式.
(3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式给出了a,b之间的关系,能否从中求出ab的值呢?
(4)7lg20·12lg0.7是两个指数幂的乘积,且指数含常用对数,
设x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx,再求x?
解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2
=2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2
=lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2
=2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2.
(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59
=2log32-5log32+2+3log32-9
=-7.
(3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0),
∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0.
∴ab=1或ab=4,这里a>0,b>0.
若ab=1,则a-2b0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)；
(2)logab·logbc=logac；
(3)logab=1logba(b>0,b≠1)；
(4)loganbm=mnlogab.
解析(1)设logaN=b得ab=N,两边取以c为底的对数求出b就可能得证.
(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.
(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.
(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.
解答(1)设logaN=b,则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
(2)由(1)logbc=logaclogab.
所以 logab·logbc=logab·logaclogab=logac.
(3)由(1)logab=logbblogba=1logba.
解题规律
(1)中logaN=logcNlogca叫做对数换底公式,(2)(3)(4)是(1)的推论,它们在对数运算和含对数的等式证明中经常应用. 对于对数的换底公式,既要善于正用,也要善于逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab.
7
已知log67=a,3b=4,求log127.
解析依题意a,b是常数,求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能否将log127转化为以6为底的对数,进而转化为以3为底呢?
解答已知log67=a,log34=b,
∴log127=log67log612=a1+log62.
又log62=log32log36=log321+log32,
由log34=b,得2log32=b.
∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b.
∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b.
解题技巧
利用已知条件求对数的值,一般运用换底公式和对数运算法则,把对数用已知条件表示出来,这是常用的方法技巧?8
已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.
(1)求满足2x=py的p值；
(2)求与p最接近的整数值；
(3)求证：12y=1z-1x.
解析已知条件中给出了指数幂的连等式,能否引进中间量m,再用m分别表示x,y,z?又想,对于指数式能否用对数的方法去解答?
解答（1）解法一3x=4y?log33x=log34y?x=ylog34?2x=2ylog34=ylog316,
∴p=log316.
解法二设3x=4y=m,取对数得：
x·lg3=lgm,ylg4=lgm,
∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4.
由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4,
∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316.
(2)∵2=log390,a2+b2=7ab.求证式中真数都只含a,b的一次式,想：能否将真数中的一次式也转化为二次,进而应用a2+b2=7ab?
解答logma+b3=logm(a+b3)212=
解题技巧
①将a+b3向二次转化以利于应用a2+b2=7ab是技巧之一.
②应用a2+b2=7ab将真数的和式转化为ab的乘积式,以便于应用对数运算性质是技巧之二.12logma+b32=12logma2+b2+2ab9.
∵a2+b2=7ab,
∴logma+b3=12logm7ab+2ab9=12logmab=12(logma+logmb),
即logma+b3=12(logma+logmb).
思维拓展发散
1
数学兴趣小组专门研究了科学记数法与常用对数间的关系.设真数N=a×10n.其中N>0,1≤alogk44>logk66>0,∴3x0).
∴10t>1 ,ax2-2(a+1)x-1>1,∴ax2-2(a+1)x-2>0.
①当a=0时,解集｛x|x