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四、函数的值域和最值
思考：常见的求值域的方法有：（1）直求（利用 的范围一点点向外求值域）；（2）反解（用 表示 求解）；（3）分离变量；（4）均值不等式；（5）换元为二次函数（或已知的函数）；（6）函数单调性（包括求导）；（7）用判别式求解；（8）线性规划知识.
注意：值域依赖于定义域,但不同的定义域可以有相同的值域.
预热题组：求下列函数的值域：
（1） ； ；
方法：换元
令 ,则
所以：
值域为：
（2） ； ；
方法：分离变量和直求
因为：,所以
即值域为：
（3） ； ；
方法：分段求,然后求并集.或看图象
答案：
（4） ,
方法：求导看单调性
0\x09
1\x09
3
\x09负\x090\x09正\x09
1\x09减\x09极小值
增\x0919
所以值域为：
例1：设m是实数,记M={m|m>1},
(1)证明：当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义；反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M.
(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值.
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.
（1）证明：真数
当 时,真数为正,即当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义
同样地,真数 成立,即 ,所以若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M.
所以：
（3）由（2）则
当且仅当 时取等号.
所以
例2：设计一幅宣传画,要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ0恒成立,试求实数a的取值范围.
,在 上 成立,
所以
（2）即 恒成立,即 ,成立
,成立
令 在区间 上减,所以
满足 ,成立,即 大于 的最大值,所以
练习1：函数 （ ）的值域是：
A.\x09B.C.\x09\x09D.
方法：通过求导利用单调性（不能用均值,因为没有正数条件）
,函数单调减,所以 ,选B
练习2：函数 的值域是：
A.\x09\x09B.C.R\x09\x09D.
方法：换元成为二次函数求解
令 ,则
,即函数的最大值为 ,选A
练习3：一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于( )2千米 ,那么这批物资全部运到B市,最快需要_________小时(不计货车的车身长).
方法：利用均值不等式求解
,当且仅当 即 千米/小时时取等号.
练习4：设 为方程 的两个实根,当m=_________时,有最小值_________.
方法：二次函数,注意有根条件
有两个实根,则 ,即 或
当 时,有最小值为
练习5：某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x－ x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时,企业所得的利润最大?
(3)年产量多少时,企业才不亏本?
分析：利润等于收入减去成本
（1）当 时,
当 时,
即：
（2）
当 ,最大值为
当 时,最大值
所以当生产475百台时,有最大利润为10.78125万元
（3）不亏本,就是 或
解得：百台
答：略
练习6：已知函数
(1)若 的定义域为 ,求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为 ,求实数a的取值范围.
（1）真数 恒成立
当 且 时,即 时成立
当 时 且 ,解得：或
所以,定义域为R,则 或
（2）值域为R,则真数可取遍所有正数
当 且 时,即 时成立
当 时 且 ,解得：
所以,值域为R,则
练习7：某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算,这些工时均用于生产)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称\x09空调器\x09彩电\x09冰箱
工时\x09
产值(千元)\x094\x093\x092
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)
设生产空调器 台,彩电 台,冰箱 台,则有：
,求总产值 的最值
当 时,有最大总产值1050千元
答：略
练习8：在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之和为S1,△ABC的内切圆面积为S2,记 =x.
(1)求函数f(x)= 的解析式并求f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)的最小值.
且 所以：
其中 ,即
（2）
,所以在 ,函数单减,
练习9：用总长14.8 m 的钢条作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
设长、宽、高分别为 ,则有：
函数在 上增,在 上减,所以当 时有最大容积为1.8立方米.
四、函数的值域和最值
思考：常见的求值域的方法有：（1）直求（利用 的范围一点点向外求值域）；（2）反解（用 表示 求解）；（3）分离变量；（4）均值不等式；（5）换元为二次函数（或已知的函数）；（6）函数单调性（包括求导）；（7）用判别式求解；（8）线性规划知识.
注意：值域依赖于定义域,但不同的定义域可以有相同的值域.
预热题组：求下列函数的值域：
（1） ； ；
方法：换元
令 ,则
所以：
值域为：
（2） ； ；
方法：分离变量和直求
因为：,所以
即值域为：
（3） ； ；
方法：分段求,然后求并集.或看图象
答案：
（4） ,
方法：求导看单调性
0\x09
1\x09
3
\x09负\x090\x09正\x09
1\x09减\x09极小值
增\x0919
所以值域为：
例1：设m是实数,记M={m|m>1},
(1)证明：当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义；反之,若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M.
(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值.
(3)求证：对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1.
（1）证明：真数
当 时,真数为正,即当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义
同样地,真数 成立,即 ,所以若f(x)对所有实数x都有意义,则m∈M.
所以：
（3）由（2）则
当且仅当 时取等号.
所以
例2：设计一幅宣传画,要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ0恒成立,试求实数a的取值范围.
,在 上 成立,
所以
（2）即 恒成立,即 ,成立
,成立
令 在区间 上减,所以
满足 ,成立,即 大于 的最大值,所以
练习1：函数 （ ）的值域是：
A.\x09B.C.\x09\x09D.
方法：通过求导利用单调性（不能用均值,因为没有正数条件）
,函数单调减,所以 ,选B
练习2：函数 的值域是：
A.\x09\x09B.C.R\x09\x09D.
方法：换元成为二次函数求解
令 ,则
,即函数的最大值为 ,选A
练习3：一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于( )2千米 ,那么这批物资全部运到B市,最快需要_________小时(不计货车的车身长).
方法：利用均值不等式求解
,当且仅当 即 千米/小时时取等号.
练习4：设 为方程 的两个实根,当m=_________时,有最小值_________.
方法：二次函数,注意有根条件
有两个实根,则 ,即 或
当 时,有最小值为
练习5：某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R(x)=5x－ x2(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位：百台)
(1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时,企业所得的利润最大?
(3)年产量多少时,企业才不亏本?
分析：利润等于收入减去成本
（1）当 时,
当 时,
即：
（2）
当 ,最大值为
当 时,最大值
所以当生产475百台时,有最大利润为10.78125万元
（3）不亏本,就是 或
解得：百台
答：略
练习6：已知函数
(1)若 的定义域为 ,求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为 ,求实数a的取值范围.
（1）真数 恒成立
当 且 时,即 时成立
当 时 且 ,解得：或
所以,定义域为R,则 或
（2）值域为R,则真数可取遍所有正数
当 且 时,即 时成立
当 时 且 ,解得：
所以,值域为R,则
练习7：某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周(按120个工时计算,这些工时均用于生产)生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称\x09空调器\x09彩电\x09冰箱
工时\x09
产值(千元)\x094\x093\x092
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高?最高产值是多少?(以千元为单位)
设生产空调器 台,彩电 台,冰箱 台,则有：
,求总产值 的最值
当 时,有最大总产值1050千元
答：略
练习8：在Rt△ABC中,∠C=90°,以斜边AB所在直线为轴将△ABC旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之和为S1,△ABC的内切圆面积为S2,记 =x.
(1)求函数f(x)= 的解析式并求f(x)的定义域.
(2)求函数f(x)的最小值.
且 所以：
其中 ,即
（2）
,所以在 ,函数单减,
练习9：用总长14.8 m 的钢条作一个长方体容器的框架,如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.
设长、宽、高分别为 ,则有：
函数在 上增,在 上减,所以当 时有最大容积为1.8立方米.