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九年级上册数学期末基础知识复习
二次根式
知识点1．二次根式 重点：掌握二次根式的概念. 难点：二次根式有意义的条件
式子
（a≥0）叫做二次根式．
知识点 2．最简二次根式
重点：掌握最简二次根式的条件[来源:学.难点：正确分清是否为最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数,因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
知识点3．同类二次根式
重点：掌握同类二次根式的概念 难点：正确分清是否为同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式．
知识点4．二次根式的性质
重点：掌握二次根式的性质 难点：理解和熟练运用二次根式的性质
①（
）2=a（a≥0）；
②
=│a│=
；
知识点5．分母有理化及有理化因式
重点：掌握分母有理化及有理化因式的概念
难点：熟练进行分母有理化,求有理化因式
把分母中的根号化去,叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式．
例观察下列分母有理化的计算：
,从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算：
=_____________
解题思路：
知识点6．二次根式的运算
重点：掌握二次根式的运算法则 难点：熟练进行二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）,将被开方数相乘（除）,所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=
·
（a≥0,b≥0）；
（b≥0,a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算．
最新考题中考要求及命题趋势1、掌握二次根式的有关知识,包括概念,性质、运算等；2、熟练地进行二次根式的运算
一 元 二 次 方 程
一、知识结构：
一元二次方程：概念、解与解法、实际应用、根与系数的关系.
二、考点精析
考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程.
(2)一般表达式：
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论.
例2、方程
是关于x的一元二次方程,则m的值为 .
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解. ⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：例1、已知
的值为2,则
的值为
.
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
※※对于
,
等形式均适用直接开方法
典型例题：例1、解方程：
=0;
例2、若
,则x的值为 .
类型二、因式分解法:
※方程特点： 左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,
※方程形式：如
,
,
典型例题：例1、
的根为（ ）A .
B .
C .
D.
例2、若
,则4x+y的值为 .
类型三、配方法
※在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题.
典型例题：试用配方法说明
的值恒大于0.
类型四、公式法⑴条件：
⑵公式：
,
典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程：
⑴
⑵
⑶
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组.
典型例题：已知
,求代数式
的值.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它.
典型例题：例1、若关于
的方程
有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题： 例1、讨论关于x的方程
根的情况.
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
典型例题：
1、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于
而言,当满足①
、②
时,
才能用韦达定理.
⑵主要内容：
⑶应用：整体代入求值.
典型例题：例1、已知关于x的方程
有两个不相等的实数根
,
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.
旋转
知识网络图表
图案设计
识别及应用
关于原点对称的点的坐标
中心对称
中心对称图形
图形旋转
平移及性质
平移及性质
旋转及性质
(1)
中心对称:把一个图形绕某一点旋转
,如果能与另一个图形重合.这个点叫对称中心,这两个图形中的对应点关于这一点对称.
(2)
关于旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等.
第1题. 下列是中心对称图形的有（ ）
（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等腰梯形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：C．
第5题. 在线段、射线、两条相交直线、五角星中,是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B．
圆
一、知识点
1、与圆有关的角——圆心角、圆周角
（1）图中的圆心角 ∠ AOB ；圆周角∠
ACB ；
（2）如图,已知∠AOB=50度,则∠ACB= 25
度；
（3）在上图中,若AB是圆O的直径,则∠AOB= 180
度；则∠ACB= 90
度；
2、圆的对称性：
（1）圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条
过圆心 的直线；
圆是中心对称图形,对称中心为 圆心 ．
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．
如图,∵CD是圆O的直径,CD⊥AB于E∴ = , =
3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ,点在圆 ,点在圆 ；
4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ．
5、圆与圆的位置关系：
6、切线性质：
例4：（1）如图,PA是⊙O的切线,点A是切点,则∠PAO= 度
（2）如图,PA、PB是⊙O的切线,点A、B是切点,
则 = ,∠ =∠ ；
7、圆中的有关计算
（1）弧长的计算公式：
例5：若扇形的圆心角为60°,半径为3,则这个扇形的弧长是多少?
因为扇形的弧长=
所以
=
= (答案保留π)
（2）扇形的面积：
例6：①若扇形的圆心角为60°,半径为3,则这个扇形的面积为多少?
因为扇形的面积S=
所以S=
= (答案保留π)
②若扇形的弧长为12πcm,半径为6㎝,则这个扇形的面积是多少?
因为扇形的面积S=
所以S= =
（ 3）圆锥：
例7：圆锥的母线长为5cm,半径为4cm,则圆锥的侧面积是多少?
∵圆锥的侧面展开图是 形,展开图的弧长等于
∴圆锥的侧面积=
概率初步
【知识梳理】
1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件,确定事件又分为必然事件和不可能事件,其中,
① 必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件,那么0
九年级上册数学期末基础知识复习
二次根式
知识点1．二次根式 重点：掌握二次根式的概念. 难点：二次根式有意义的条件
式子
（a≥0）叫做二次根式．
知识点 2．最简二次根式
重点：掌握最简二次根式的条件[来源:学.难点：正确分清是否为最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数,因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
知识点3．同类二次根式
重点：掌握同类二次根式的概念 难点：正确分清是否为同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式．
知识点4．二次根式的性质
重点：掌握二次根式的性质 难点：理解和熟练运用二次根式的性质
①（
）2=a（a≥0）；
②
=│a│=
；
知识点5．分母有理化及有理化因式
重点：掌握分母有理化及有理化因式的概念
难点：熟练进行分母有理化,求有理化因式
把分母中的根号化去,叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘,若它们的积不含二次根式,则称这两个代数式互为有理化因式．
例观察下列分母有理化的计算：
,从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算：
=_____________
解题思路：
知识点6．二次根式的运算
重点：掌握二次根式的运算法则 难点：熟练进行二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除）,将被开方数相乘（除）,所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=
·
（a≥0,b≥0）；
（b≥0,a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算．
最新考题中考要求及命题趋势1、掌握二次根式的有关知识,包括概念,性质、运算等；2、熟练地进行二次根式的运算
一 元 二 次 方 程
一、知识结构：
一元二次方程：概念、解与解法、实际应用、根与系数的关系.
二、考点精析
考点一、概念(1)定义：①只含有一个未知数,并且②未知数的最高次数是2,这样的③整式方程就是一元二次方程.
(2)一般表达式：
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论.
例2、方程
是关于x的一元二次方程,则m的值为 .
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解. ⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：例1、已知
的值为2,则
的值为
.
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
※※对于
,
等形式均适用直接开方法
典型例题：例1、解方程：
=0;
例2、若
,则x的值为 .
类型二、因式分解法:
※方程特点： 左边可以分解为两个一次因式的积,右边为“0”,
※方程形式：如
,
,
典型例题：例1、
的根为（ ）A .
B .
C .
D.
例2、若
,则4x+y的值为 .
类型三、配方法
※在解方程中,多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题.
典型例题：试用配方法说明
的值恒大于0.
类型四、公式法⑴条件：
⑵公式：
,
典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程：
⑴
⑵
⑶
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组.
典型例题：已知
,求代数式
的值.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：①定根的个数；②求待定系数的值；③应用于其它.
典型例题：例1、若关于
的方程
有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题： 例1、讨论关于x的方程
根的情况.
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
典型例题：
1、将一条长20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形.
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这两段铁丝的长度分别为多少?
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于
而言,当满足①
、②
时,
才能用韦达定理.
⑵主要内容：
⑶应用：整体代入求值.
典型例题：例1、已知关于x的方程
有两个不相等的实数根
,
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?若存在,求出k的值；若不存在,请说明理由.
旋转
知识网络图表
图案设计
识别及应用
关于原点对称的点的坐标
中心对称
中心对称图形
图形旋转
平移及性质
平移及性质
旋转及性质
(1)
中心对称:把一个图形绕某一点旋转
,如果能与另一个图形重合.这个点叫对称中心,这两个图形中的对应点关于这一点对称.
(2)
关于旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等.
第1题. 下列是中心对称图形的有（ ）
（1）线段；（2）角；（3）等边三角形；（4）正方形；（5）平行四边形；（6）矩形；（7）等腰梯形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
答案：C．
第5题. 在线段、射线、两条相交直线、五角星中,是中心对称图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：B．
圆
一、知识点
1、与圆有关的角——圆心角、圆周角
（1）图中的圆心角 ∠ AOB ；圆周角∠
ACB ；
（2）如图,已知∠AOB=50度,则∠ACB= 25
度；
（3）在上图中,若AB是圆O的直径,则∠AOB= 180
度；则∠ACB= 90
度；
2、圆的对称性：
（1）圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条
过圆心 的直线；
圆是中心对称图形,对称中心为 圆心 ．
（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧．
如图,∵CD是圆O的直径,CD⊥AB于E∴ = , =
3、点和圆的位置关系有三种：点在圆 ,点在圆 ,点在圆 ；
4、直线和圆的位置关系有三种：相 、相 、相 ．
5、圆与圆的位置关系：
6、切线性质：
例4：（1）如图,PA是⊙O的切线,点A是切点,则∠PAO= 度
（2）如图,PA、PB是⊙O的切线,点A、B是切点,
则 = ,∠ =∠ ；
7、圆中的有关计算
（1）弧长的计算公式：
例5：若扇形的圆心角为60°,半径为3,则这个扇形的弧长是多少?
因为扇形的弧长=
所以
=
= (答案保留π)
（2）扇形的面积：
例6：①若扇形的圆心角为60°,半径为3,则这个扇形的面积为多少?
因为扇形的面积S=
所以S=
= (答案保留π)
②若扇形的弧长为12πcm,半径为6㎝,则这个扇形的面积是多少?
因为扇形的面积S=
所以S= =
（ 3）圆锥：
例7：圆锥的母线长为5cm,半径为4cm,则圆锥的侧面积是多少?
∵圆锥的侧面展开图是 形,展开图的弧长等于
∴圆锥的侧面积=
概率初步
【知识梳理】
1．生活中的随机事件分为确定事件和不确定事件,确定事件又分为必然事件和不可能事件,其中,
① 必然事件发生的概率为1,即P(必然事件)=1；
② 不可能事件发生的概率为0,即P（不可能事件）=0；
③ 如果A为不确定事件,那么0