优质解答
一、梳理知识：
1、全等三角形
（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形.
（2）性质：全等三角形的 、 相等.
（3）判定："SAS"、 、 、 、 .
2、等腰三角形
（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形.
（2）性质：①等腰三角形的 相等.（"等边对等角"）
②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合.( )
③等腰三角形是 图形.
（3）判定：①定义 ②" "
（4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形.
性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质.
判定：①定义 ②有一个角 是等边三角形.
3、直角三角形
（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形.
（2）性质：①"勾股定理" .
②直角三角形两锐角 .
③直角三角形斜边上的中线等于 .
④在直角三角形中,30°角所对直角边等于 .
（3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形
③"勾股定理逆定理" .
4、角平分线
（1）定义： .
（2）性质：①角平分线上的点 相等.
②三角形的三条角平分线 ,且到 相等.
（3）判定：到角的两边 的点,在这个角的平分线上.
（4）角平分线的作法：
5、线段的垂直平分线
（1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线.
（2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等.
②三角形三边的垂直平分线 ,且到 相等.
（3）判定：到一条线段两个端点 的点,在这条线段的垂直平分线上.
（4）线段的垂直平分线的作法：
6、命题：判断一件事的句子叫命题.命题有 与 两部分.
互逆命题：在两个命题中,如果一个命题的 是另一个命题的
,那么这两个命题成为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的 .
7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．
二、典型例题：
一、选择题
1、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点
2、已知等腰三角形的两边长分别为4㎝和2㎝,则其周长是（ ）
A. 6㎝ B. 10㎝ C. 10㎝或8㎝ D. 8㎝
3、如图,从等腰△ABC底边BC上任意一点分别作两腰的平行线DE、DF,分别交AC、AB于点E、F,则□AFDE的周长等于这个等腰三角形的( )
A. 周长 B. 周长的一半
C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长
崂山八中九年级数学复习课导学案
课题
证明（二）
课型
复习课
课时
1
复习目标
1、 能准确的找出两个三角形的等量关系,证明两个三角形全等；
2、 灵活运用各性质解决实际问题.
重点、难点、考点
1、 等腰三角形、等边三角形的性质和判定
2、 理解题意,把握题目中的每个量
3、 线段垂直平分线的做法,角平分线的做法利用等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质灵活解题
教法
分层设计,先写后说,互动交流
学法指导
一、课前准备
1、等腰三角形的性质：边 ；角 ；叙述三线合一的内容 .
2、等边三角形的性质：边 ；角 .
3、判定等腰三角形的方法有：边 角 .
4、判定等边三角形的方法有：边 角 .
5、线段垂直平分线的性质定理：
逆定理：
已知线段AB,用直尺和圆规作出它的垂直平分线：
三角形的垂直平分线性质：
6、角的性质定理：
逆定理：
已知角ABC,用直尺和圆规作出它的角平分线：
三角形的角平分线性质：
7、三角形全等的判定方法有 .
8、说出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 .
学习困惑记录
二、课堂复习
一、等腰三角形
1、已知,等腰三角形的一条边长等于,另一条边长等于,则此等腰三角形的周长是（ ）A．B． C． D．或
2.等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________
3、等腰三角形的一个角是80度,则它的另两个角是
4、（选作）△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件：
①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC
[1]上述四个条件中,哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形（用序号写出）
[2]选择第[1]小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角
二、等边三角形
1、如图：等边三角形ABC中,D为AC的中点,E为BC延长线上一点,且DB=DE,若△ABC的周长为12,则△DCE的周长为___________.
三、垂直平分线
1、如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
2、（选作）如图：△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200,EF垂直平分AB,EF=2,求AB与BC的长.
四、角平分线
1、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于E,DE⊥AB于D,BC=8,AC=6,AB=10,则△BDE的周长为_________.
2、.如左下图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3 cm,那么AE+DE等于
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
3.如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
五、三角形全等
1、如图：已知P,O是线段CD垂直平分线上的点,A,B分别是射线OC,OD上的点,且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.
求证：[1]OC=OD
[2]OP平分∠AOB
2、.如图：在△ABC中,
AD,CE分别是△ABC的高,
请你再加一个___________
条件
即可使△AEH≌△CEB.
六、命题
1. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是
_____________________________________.它是一个__________命题.
2.下列各语句中,不是真命题的是
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P在角的平分线上
D.对顶角相等
3、.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截,截得的同位角相等
七、综合
小军和小强互相编数学题考察对方：
（1）小军编题：将含有45度角的的直角三角板和直尺如图摆放在桌子上,然后分别过A、B两个顶点向直尺作了两条垂线段AD,BE.
问题[1]：你能发现并证明这个图形中的全等三角形吗?
[2]：你能发现并证明线段AD,BE,DE之间的关系吗?
小强顺利的做出了解答,你也来试试吧!
（2）小强借题发挥,将直尺位置稍作改变,以相同的问题问小军,你能帮助小军做出正确解答吗?
（3）在小强和小军所编的题目中用到了你所学过的哪些定理?
随时纠错
三、小结反馈
1、在三角形内部,有一个点P到三角形三个顶点的距离相等,那么P点一定是（ ）
A.这个三角形的三条边的垂直平分线的交点.
B.这个三角形三条中线的交点.
C.这个三角形三角角平分线的交点
D.这个三角形三条高的交点
如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D
求证：①OC=OD
②OP是CD的垂直平分线
说明：第②问可以一题多解.一是可以利用等腰三角形三线合一,二是因为PC=PD,OC=OD,所以得以证明（根据的是两点确定一条直线）
一、梳理知识：
1、全等三角形
（1）定义： 能够完全 的三角形是全等三角形.
（2）性质：全等三角形的 、 相等.
（3）判定："SAS"、 、 、 、 .
2、等腰三角形
（1）定义：有两条 的三角形是等腰三角形.
（2）性质：①等腰三角形的 相等.（"等边对等角"）
②等腰三角形的顶角平分线、 、 互相重合.( )
③等腰三角形是 图形.
（3）判定：①定义 ②" "
（4）等边三角形 定义： 的三角形是等边三角形.
性质：①三角都等于 ②具有等腰三角形的一切性质.
判定：①定义 ②有一个角 是等边三角形.
3、直角三角形
（1）定义：有一个角是 的三角形是直角三角形.
（2）性质：①"勾股定理" .
②直角三角形两锐角 .
③直角三角形斜边上的中线等于 .
④在直角三角形中,30°角所对直角边等于 .
（3）判定：①定义 ②两锐角 的三角形是直角三角形
③"勾股定理逆定理" .
4、角平分线
（1）定义： .
（2）性质：①角平分线上的点 相等.
②三角形的三条角平分线 ,且到 相等.
（3）判定：到角的两边 的点,在这个角的平分线上.
（4）角平分线的作法：
5、线段的垂直平分线
（1）定义： 一条线段的 叫线段的垂直平分线.
（2）性质：①线段垂直平分线上一点 相等.
②三角形三边的垂直平分线 ,且到 相等.
（3）判定：到一条线段两个端点 的点,在这条线段的垂直平分线上.
（4）线段的垂直平分线的作法：
6、命题：判断一件事的句子叫命题.命题有 与 两部分.
互逆命题：在两个命题中,如果一个命题的 是另一个命题的
,那么这两个命题成为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的 .
7、逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题,那么这个逆命题就叫原定理的逆定理．
二、典型例题：
一、选择题
1、到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的（ ）
A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点 D.三边中垂线的交点
2、已知等腰三角形的两边长分别为4㎝和2㎝,则其周长是（ ）
A. 6㎝ B. 10㎝ C. 10㎝或8㎝ D. 8㎝
3、如图,从等腰△ABC底边BC上任意一点分别作两腰的平行线DE、DF,分别交AC、AB于点E、F,则□AFDE的周长等于这个等腰三角形的( )
A. 周长 B. 周长的一半
C. 一条腰长的2倍 D. 一条腰长
崂山八中九年级数学复习课导学案
课题
证明（二）
课型
复习课
课时
1
复习目标
1、 能准确的找出两个三角形的等量关系,证明两个三角形全等；
2、 灵活运用各性质解决实际问题.
重点、难点、考点
1、 等腰三角形、等边三角形的性质和判定
2、 理解题意,把握题目中的每个量
3、 线段垂直平分线的做法,角平分线的做法利用等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质灵活解题
教法
分层设计,先写后说,互动交流
学法指导
一、课前准备
1、等腰三角形的性质：边 ；角 ；叙述三线合一的内容 .
2、等边三角形的性质：边 ；角 .
3、判定等腰三角形的方法有：边 角 .
4、判定等边三角形的方法有：边 角 .
5、线段垂直平分线的性质定理：
逆定理：
已知线段AB,用直尺和圆规作出它的垂直平分线：
三角形的垂直平分线性质：
6、角的性质定理：
逆定理：
已知角ABC,用直尺和圆规作出它的角平分线：
三角形的角平分线性质：
7、三角形全等的判定方法有 .
8、说出“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是 .
学习困惑记录
二、课堂复习
一、等腰三角形
1、已知,等腰三角形的一条边长等于,另一条边长等于,则此等腰三角形的周长是（ ）A．B． C． D．或
2.等腰三角形的底角为15°,腰上的高为16,那么腰长为__________
3、等腰三角形的一个角是80度,则它的另两个角是
4、（选作）△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD与CE交于点O,给出下列四个条件：
①∠EBO=∠DCO ②∠BEO=∠CDO ③BE=CD ④OB=OC
[1]上述四个条件中,哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形（用序号写出）
[2]选择第[1]小题中的一种情形,证明△ABC是等腰三角
二、等边三角形
1、如图：等边三角形ABC中,D为AC的中点,E为BC延长线上一点,且DB=DE,若△ABC的周长为12,则△DCE的周长为___________.
三、垂直平分线
1、如图1,在△ABC中,已知AC=27,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,△BCE的周长等于50,求BC的长.
2、（选作）如图：△ABC中,AB=AC,∠BAC=1200,EF垂直平分AB,EF=2,求AB与BC的长.
四、角平分线
1、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A的平分线交BC于E,DE⊥AB于D,BC=8,AC=6,AB=10,则△BDE的周长为_________.
2、.如左下图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,DE⊥AB于D,如果AC=3 cm,那么AE+DE等于
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
3.如右图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
五、三角形全等
1、如图：已知P,O是线段CD垂直平分线上的点,A,B分别是射线OC,OD上的点,且PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D.
求证：[1]OC=OD
[2]OP平分∠AOB
2、.如图：在△ABC中,
AD,CE分别是△ABC的高,
请你再加一个___________
条件
即可使△AEH≌△CEB.
六、命题
1. 命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,其逆命题是
_____________________________________.它是一个__________命题.
2.下列各语句中,不是真命题的是
A.直角都相等
B.等角的补角相等
C.点P在角的平分线上
D.对顶角相等
3、.下列命题中是真命题的是
A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等
B.相等的角是对顶角
C.余角相等的角互余
D.两直线被第三条直线所截,截得的同位角相等
七、综合
小军和小强互相编数学题考察对方：
（1）小军编题：将含有45度角的的直角三角板和直尺如图摆放在桌子上,然后分别过A、B两个顶点向直尺作了两条垂线段AD,BE.
问题[1]：你能发现并证明这个图形中的全等三角形吗?
[2]：你能发现并证明线段AD,BE,DE之间的关系吗?
小强顺利的做出了解答,你也来试试吧!
（2）小强借题发挥,将直尺位置稍作改变,以相同的问题问小军,你能帮助小军做出正确解答吗?
（3）在小强和小军所编的题目中用到了你所学过的哪些定理?
随时纠错
三、小结反馈
1、在三角形内部,有一个点P到三角形三个顶点的距离相等,那么P点一定是（ ）
A.这个三角形的三条边的垂直平分线的交点.
B.这个三角形三条中线的交点.
C.这个三角形三角角平分线的交点
D.这个三角形三条高的交点
如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D
求证：①OC=OD
②OP是CD的垂直平分线
说明：第②问可以一题多解.一是可以利用等腰三角形三线合一,二是因为PC=PD,OC=OD,所以得以证明（根据的是两点确定一条直线）