毕达哥拉斯对数字有很多发现.比如“朋友”数字.毕达哥拉斯认为朋友就是另
一个自我(这很象许多流行的警语,一个精彩的箩筐,能往里放很多喜欢的东西).
数字里也有朋友,220和284,每一个都等于对方除数的和.(220的整除数有：1
2 4 5 10 11 20 22 44 55 110,和为 248,248的整除数有：1 2 71 142,其和
为 220).另一对朋友数字是到两千多年后的1636年,由费尔马(Pierre de
Ferman)发现的:是17296和18416.后来的数学家们又发现了许多.值得一提的
是其中大约第六十对,也是最小的一对1184和1210,是在1866由一个十六岁的意
大利学生发现的.毕达哥拉斯更喜欢完美数,即其所有整除数的和为自身.如6
的整除数为1 2 3,其和为 6,28的整除数为 1 2 4 7 14,其和为 28.除6和
28外,古希腊人还知道496和 8128,第五个完美数33,550,336是七百多年后发
现的.到一九九八年四月,共发现有37个完美数,都是偶数.
17世纪,法国著名数学家费马（P·Fermat,1608-1665)曾得到一个后人以其名字命名的定理：如果n为素数,a为任意自然数,那么a2-a是n的倍数.上述定理的逆命题是否成立呢?费马之后,研究者数不胜数.德国著名数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)就曾提出：如果n不是素数,那么2n-2就不是n的倍数.因此,在莱布尼兹看来,当a=-2时,费马定理的逆命题是成立的：如果an-a是n的倍数,那么n必为素数.无独有偶,中国清代大数学家李善兰(1811-1882)于1869年归纳得到了一个判定素数(李善兰称之为“数根”)的方法：用2的对数乘已知数,以所得乘积作为对数值,求出相应的真数,从中减去2.如果余数能被已知数整除,则己知数为素数；否则,它就不是素数.上述方法简单地说来就是：设n为已知自然数,如果2 n-2是n的倍数,那么n是素数,否则n就不是素数.一个名叫萨吕斯（A·Sarrus)的数学家所发现的反例彻底否定了莱布尼兹和李善兰的结论：尽管2341-2,是341的倍数,但341=11×31却是一个合数!后来人们又相继发现了更多的反例：561,645,1105,1387,1729,1905,2407,……数论中由不完全归纳得到的结论有时往往并不正确.
像这样,介绍历史上数学家的种种失误、数学发展的曲折艰辛,可以改变学生对错误的错误看法.让他们明白：“高贵”如数学也不过是人类的一种文化活动,任何学习和研究都会遭遇错误、挫折和失败.因此,用数学史来改变学生的错误观,是很有效的方法.
费马数猜想：大师的失误
1640年,在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子22n+1 的值是否一定为素数.当 n取0、1、2、3、4时,这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537,费马发现这五个数都是素数.由此,费马提出一个猜想：形如22n+1的数一定为素数.在给朋友的一封信中,费马写道：“我已经发现形如22n+1的数永远为素数.很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的.”费马同时坦白承认,他自己未能找到一个完全的证明.
费马所研究的22n+1这种具有美妙形式的数,后人称之为费马数,并用Fn 表示.费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数.费马是正确的吗?
进一步验证费马的猜想并不容易.因为随着n的增大,Fn 迅速增大.比如对后人来说第一个需要检验的F5 ＝4294967297已经是一个十位数了.非常可能的是,由于这一数太大,所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证.那么,它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢?
1729年12月1日,哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如22n+1的数都是素数,你知道这个问题吗?他说他没能作出证明.据我所知,也没有其他任何人对这个问题作出过证明.”
这个问题吸引了欧拉.1732年,年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 ＝641×6700417,其中641=5×27+1这一结果意味着 是一个合数,因此费马的猜想是错的.
在对费马数的研究上,费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉,轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测.更为不幸的是,研究的进展表明费马不但是错的,而且非常可能是大错特错了.
此后人们对更多的费马数进行了研究.随着电子计算机的发展,计算机成为数学家研究费马数的有力工具.但即使如此,在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数.迄今为止,费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个!因此人们开始猜想：在所有的费马数中,除了前五个是素数外,其他的都是合数.如果这一结论被证实,那么对于费马的草率猜想来说,恐怕不会有更为糟糕的结局了. 毕达哥拉斯对数字有很多发现.比如“朋友”数字.毕达哥拉斯认为朋友就是另
一个自我(这很象许多流行的警语,一个精彩的箩筐,能往里放很多喜欢的东西).
数字里也有朋友,220和284,每一个都等于对方除数的和.(220的整除数有：1
2 4 5 10 11 20 22 44 55 110,和为 248,248的整除数有：1 2 71 142,其和
为 220).另一对朋友数字是到两千多年后的1636年,由费尔马(Pierre de
Ferman)发现的:是17296和18416.后来的数学家们又发现了许多.值得一提的
是其中大约第六十对,也是最小的一对1184和1210,是在1866由一个十六岁的意
大利学生发现的.毕达哥拉斯更喜欢完美数,即其所有整除数的和为自身.如6
的整除数为1 2 3,其和为 6,28的整除数为 1 2 4 7 14,其和为 28.除6和
28外,古希腊人还知道496和 8128,第五个完美数33,550,336是七百多年后发
现的.到一九九八年四月,共发现有37个完美数,都是偶数.
17世纪,法国著名数学家费马（P·Fermat,1608-1665)曾得到一个后人以其名字命名的定理：如果n为素数,a为任意自然数,那么a2-a是n的倍数.上述定理的逆命题是否成立呢?费马之后,研究者数不胜数.德国著名数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)就曾提出：如果n不是素数,那么2n-2就不是n的倍数.因此,在莱布尼兹看来,当a=-2时,费马定理的逆命题是成立的：如果an-a是n的倍数,那么n必为素数.无独有偶,中国清代大数学家李善兰(1811-1882)于1869年归纳得到了一个判定素数(李善兰称之为“数根”)的方法：用2的对数乘已知数,以所得乘积作为对数值,求出相应的真数,从中减去2.如果余数能被已知数整除,则己知数为素数；否则,它就不是素数.上述方法简单地说来就是：设n为已知自然数,如果2 n-2是n的倍数,那么n是素数,否则n就不是素数.一个名叫萨吕斯（A·Sarrus)的数学家所发现的反例彻底否定了莱布尼兹和李善兰的结论：尽管2341-2,是341的倍数,但341=11×31却是一个合数!后来人们又相继发现了更多的反例：561,645,1105,1387,1729,1905,2407,……数论中由不完全归纳得到的结论有时往往并不正确.
像这样,介绍历史上数学家的种种失误、数学发展的曲折艰辛,可以改变学生对错误的错误看法.让他们明白：“高贵”如数学也不过是人类的一种文化活动,任何学习和研究都会遭遇错误、挫折和失败.因此,用数学史来改变学生的错误观,是很有效的方法.
费马数猜想：大师的失误
1640年,在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子22n+1 的值是否一定为素数.当 n取0、1、2、3、4时,这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537,费马发现这五个数都是素数.由此,费马提出一个猜想：形如22n+1的数一定为素数.在给朋友的一封信中,费马写道：“我已经发现形如22n+1的数永远为素数.很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的.”费马同时坦白承认,他自己未能找到一个完全的证明.
费马所研究的22n+1这种具有美妙形式的数,后人称之为费马数,并用Fn 表示.费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数.费马是正确的吗?
进一步验证费马的猜想并不容易.因为随着n的增大,Fn 迅速增大.比如对后人来说第一个需要检验的F5 ＝4294967297已经是一个十位数了.非常可能的是,由于这一数太大,所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证.那么,它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢?
1729年12月1日,哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如22n+1的数都是素数,你知道这个问题吗?他说他没能作出证明.据我所知,也没有其他任何人对这个问题作出过证明.”
这个问题吸引了欧拉.1732年,年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 ＝641×6700417,其中641=5×27+1这一结果意味着 是一个合数,因此费马的猜想是错的.
在对费马数的研究上,费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉,轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测.更为不幸的是,研究的进展表明费马不但是错的,而且非常可能是大错特错了.
此后人们对更多的费马数进行了研究.随着电子计算机的发展,计算机成为数学家研究费马数的有力工具.但即使如此,在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数.迄今为止,费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个!因此人们开始猜想：在所有的费马数中,除了前五个是素数外,其他的都是合数.如果这一结论被证实,那么对于费马的草率猜想来说,恐怕不会有更为糟糕的结局了.