一．解答题（共10小题）

1．化简：

（1）           （2）

（3）            （4） ．

2．计算；

①       ② ．

3．先化简： ；若结果等于 ,求出相应x的值．

4．如果 ,试求k的值．

5．（2011•咸宁）解方程 ．

6．（2010•岳阳）解方程： ﹣ =1．

7．（2010•苏州）解方程： ．

8．（2011•苏州）已知|a﹣1|+ =0,求方裎 +bx=1的解．

9．（2009•宁波）如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是﹣4, ,且点A、B到原点的距离相等,求x的值．

10．（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召,组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍,这样,实际人均植树棵数比原计划的少2棵,求原计划参加植树的团员有多少人?

答案与评分标准

一．解答题（共10小题）

1．化简：

（1）

（2）

（3）

（4） ．

考点：分式的混合运算；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法.

专题：计算题.

分析：（1）变形后根据同分母的分式相加减法则,分母不变,分子相加减,最后化成最简分式即可；

（2）根据乘法的分配律展开后,先算乘法,再合并同类项即可；

（3）先根据异分母的分式相加减法则算括号里面的,再把除法变成乘法,进行约分即可；

（4）先把除法变成乘法,进行约分,再进行加法运算即可．

（1）原式= ﹣ ﹣

=

=

=

=﹣ ；

（2）原式=3（x+2）﹣ •（x+2）

=3x+6﹣x

=2x+6；

（3）原式=[ ]•

= •

= ；

（4）原式= • +

= +

=

=

=1．

点评：本题主要考查对分式的混合运算,约分,通分,最简分母,分式的加、减、乘、除运算等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

2．计算；

①

② ．

考点：分式的混合运算.

专题：计算题.

分析：①首先进行乘方计算,然后把除法转化为乘法计算,最后进行乘法运算即可；

②运用乘法的分配律和完全平方公式先去括号,再算除法．

①

= •（﹣ ）

= •（﹣ ）

=﹣ ；

②

=[﹣x﹣1+1﹣x﹣1+x²+2]÷（x﹣1）

=（x﹣1）²÷（x﹣1）

=x﹣1．

点评：考查了分式的乘除法,解决乘法、除法、乘方的混合运算,容易出现的是符号的错误,在计算过程中要首先确定符号．同时考查了分式的混合运算,分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律进行灵活运算．

3．先化简： ；若结果等于 ,求出相应x的值．

考点：分式的混合运算；解分式方程.

专题：计算题.

分析：首先将所给的式子化简,然后根据代数式的结果列出关于x的方程,求出x的值．

原式= = ；

由 = ,得：x²=2,

解得x=± ．

点评：本题考查了实数的运算及分式的化简计算．在分式化简过程中,首先要弄清楚运算顺序,先去括号,再进行分式的乘除．

4．如果 ,试求k的值．

考点：分式的混合运算.

专题：计算题.

分析：根据已知条件得a=（b+c+d）k①,b=（a+c+d）k②,c=（a+b+d）k③,d=（a+b+c）k④,将①②③④相加,分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论,所以k有两个解．

∵ ,

∴a=（b+c+d）k,①

b=（a+c+d）k,②

c=（a+b+d）k,③

d=（a+b+c）k,④

∴①+②+③+④得,a+b+c+d=k（3a+3b+3c+3d）,

当a+b+c+d=0时,

∴b+c+d=﹣a,

∵a=（b+c+d）k,

∴a=﹣ak

∴k=﹣1,

当a+b+c+d≠0时,∴两边同时除以a+b+c+d得,3k=1,

∴k= ．

故答案为：k=﹣1或 ．

点评：本题考查了分式的混合运算,以及分式的基本性质,比较简单要熟练掌握．

5．（2011•咸宁）解方程 ．

考点：解分式方程.

专题：方程思想.

分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣2）,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解．

两边同时乘以（x+1）（x﹣2）,

得x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣2）=3．（3分）

解这个方程,得x=﹣1．（7分）

检验：x=﹣1时（x+1）（x﹣2）=0,x=﹣1不是原分式方程的解,

∴原分式方程无解．（8分）

点评：考查了解分式方程,（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

6．（2010•岳阳）解方程： ﹣ =1．

考点：解分式方程.

专题：计算题.

分析：观察可得最简公分母是（x﹣2）,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解．

去分母,得4﹣x=x﹣2            （4分）

解得：x=3                   （5分）

检验：把x=3代入（x﹣2）=1≠0．

∴x=3是原方程的解．        （6分）

点评：本题考查解分式方程,（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

7．（2010•苏州）解方程： ．

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法.

专题：换元法.

分析：方程的两个分式具备平方关系,设 =t,则原方程化为t²﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t,再求x．

令 =t,则原方程可化为t²﹣t﹣2=0,

解得,t₁=2,t₂=﹣1,

当t=2时, =2,解得x₁=﹣1,

当t=﹣1时, =﹣1,解得x₂= ,

经检验,x₁=﹣1,x₂= 是原方程的解．

点评：换元法是解分式方程的常用方法之一,它能够把一些分式方程化繁为简,化难为易,对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点,寻找解题技巧．

8．（2011•苏州）已知|a﹣1|+ =0,求方裎 +bx=1的解．

考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根.

专题：综合题；方程思想.

分析：首先根据非负数的性质,可求出a、b的值,然后再代入方程求解即可．

∵|a﹣1|+ =0,

∴a﹣1=0,a=1；b+2=0,b=﹣2．

∴ ﹣2x=1,得2x²+x﹣1=0,

解得x₁=﹣1,x₂= ．

经检验：x₁=﹣1,x₂= 是原方程的解．

∴原方程的解为：x₁=﹣1,x₂= ．

点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0．同时考查了解分式方程,注意解分式方程一定注意要验根．

9．（2009•宁波）如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是﹣4, ,且点A、B到原点的距离相等,求x的值．

考点：解分式方程；绝对值.

专题：图表型.

分析：A到原点的距离为|﹣4|=4,那么B到原点的距离为4,就可以转换为分式方程求解．

由题意得, =|﹣4|,

解得 ,

经检验 是原方程的解,

∴x的值为 ．

点评：（1）到原点的距离实际是绝对值．正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数；

（2）解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．

10．（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召,组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍,这样,实际人均植树棵数比原计划的少2棵,求原计划参加植树的团员有多少人?

考点：分式方程的应用.

专题：应用题.

分析：设原计划参加植树的团员有x人,则实际参加植树的团员有1.5x人,人均植树棵树= ,用原人均植树棵树﹣实际人均植树棵树=2,列分式方程求解,结果要检验．

设原计划参加植树的团员有x人,

根据题意,得 ,

解这个方程,得x=50,

经检验,x=50是原方程的根,

答：原计划参加植树的团员有50人．

点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时,一般题目中会有两个相等关系,这时要根据题目所要解决的问题,选择其中的一个相等关系作为列方程的依据,而另一个则用来设未知数．

一．解答题（共10小题）

1．化简：

（1）           （2）

（3）            （4） ．

2．计算；

①       ② ．

3．先化简： ；若结果等于 ,求出相应x的值．

4．如果 ,试求k的值．

5．（2011•咸宁）解方程 ．

6．（2010•岳阳）解方程： ﹣ =1．

7．（2010•苏州）解方程： ．

8．（2011•苏州）已知|a﹣1|+ =0,求方裎 +bx=1的解．

9．（2009•宁波）如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是﹣4, ,且点A、B到原点的距离相等,求x的值．

10．（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召,组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍,这样,实际人均植树棵数比原计划的少2棵,求原计划参加植树的团员有多少人?

答案与评分标准

一．解答题（共10小题）

1．化简：

（1）

（2）

（3）

（4） ．

考点：分式的混合运算；约分；通分；最简分式；最简公分母；分式的乘除法；分式的加减法.

专题：计算题.

分析：（1）变形后根据同分母的分式相加减法则,分母不变,分子相加减,最后化成最简分式即可；

（2）根据乘法的分配律展开后,先算乘法,再合并同类项即可；

（3）先根据异分母的分式相加减法则算括号里面的,再把除法变成乘法,进行约分即可；

（4）先把除法变成乘法,进行约分,再进行加法运算即可．

（1）原式= ﹣ ﹣

=

=

=

=﹣ ；

（2）原式=3（x+2）﹣ •（x+2）

=3x+6﹣x

=2x+6；

（3）原式=[ ]•

= •

= ；

（4）原式= • +

= +

=

=

=1．

点评：本题主要考查对分式的混合运算,约分,通分,最简分母,分式的加、减、乘、除运算等知识点的理解和掌握,能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

2．计算；

①

② ．

考点：分式的混合运算.

专题：计算题.

分析：①首先进行乘方计算,然后把除法转化为乘法计算,最后进行乘法运算即可；

②运用乘法的分配律和完全平方公式先去括号,再算除法．

①

= •（﹣ ）

= •（﹣ ）

=﹣ ；

②

=[﹣x﹣1+1﹣x﹣1+x²+2]÷（x﹣1）

=（x﹣1）²÷（x﹣1）

=x﹣1．

点评：考查了分式的乘除法,解决乘法、除法、乘方的混合运算,容易出现的是符号的错误,在计算过程中要首先确定符号．同时考查了分式的混合运算,分式的混合运算,一般按常规运算顺序,但有时应先根据题目的特点,运用乘法的运算律进行灵活运算．

3．先化简： ；若结果等于 ,求出相应x的值．

考点：分式的混合运算；解分式方程.

专题：计算题.

分析：首先将所给的式子化简,然后根据代数式的结果列出关于x的方程,求出x的值．

原式= = ；

由 = ,得：x²=2,

解得x=± ．

点评：本题考查了实数的运算及分式的化简计算．在分式化简过程中,首先要弄清楚运算顺序,先去括号,再进行分式的乘除．

4．如果 ,试求k的值．

考点：分式的混合运算.

专题：计算题.

分析：根据已知条件得a=（b+c+d）k①,b=（a+c+d）k②,c=（a+b+d）k③,d=（a+b+c）k④,将①②③④相加,分a+b+c+d=0与不等于0两种情况讨论,所以k有两个解．

∵ ,

∴a=（b+c+d）k,①

b=（a+c+d）k,②

c=（a+b+d）k,③

d=（a+b+c）k,④

∴①+②+③+④得,a+b+c+d=k（3a+3b+3c+3d）,

当a+b+c+d=0时,

∴b+c+d=﹣a,

∵a=（b+c+d）k,

∴a=﹣ak

∴k=﹣1,

当a+b+c+d≠0时,∴两边同时除以a+b+c+d得,3k=1,

∴k= ．

故答案为：k=﹣1或 ．

点评：本题考查了分式的混合运算,以及分式的基本性质,比较简单要熟练掌握．

5．（2011•咸宁）解方程 ．

考点：解分式方程.

专题：方程思想.

分析：观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣2）,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解．

两边同时乘以（x+1）（x﹣2）,

得x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣2）=3．（3分）

解这个方程,得x=﹣1．（7分）

检验：x=﹣1时（x+1）（x﹣2）=0,x=﹣1不是原分式方程的解,

∴原分式方程无解．（8分）

点评：考查了解分式方程,（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

6．（2010•岳阳）解方程： ﹣ =1．

考点：解分式方程.

专题：计算题.

分析：观察可得最简公分母是（x﹣2）,方程两边乘最简公分母,可以把分式方程转化为整式方程求解．

去分母,得4﹣x=x﹣2            （4分）

解得：x=3                   （5分）

检验：把x=3代入（x﹣2）=1≠0．

∴x=3是原方程的解．        （6分）

点评：本题考查解分式方程,（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

7．（2010•苏州）解方程： ．

考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法.

专题：换元法.

分析：方程的两个分式具备平方关系,设 =t,则原方程化为t²﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t,再求x．

令 =t,则原方程可化为t²﹣t﹣2=0,

解得,t₁=2,t₂=﹣1,

当t=2时, =2,解得x₁=﹣1,

当t=﹣1时, =﹣1,解得x₂= ,

经检验,x₁=﹣1,x₂= 是原方程的解．

点评：换元法是解分式方程的常用方法之一,它能够把一些分式方程化繁为简,化难为易,对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点,寻找解题技巧．

8．（2011•苏州）已知|a﹣1|+ =0,求方裎 +bx=1的解．

考点：解分式方程；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根.

专题：综合题；方程思想.

分析：首先根据非负数的性质,可求出a、b的值,然后再代入方程求解即可．

∵|a﹣1|+ =0,

∴a﹣1=0,a=1；b+2=0,b=﹣2．

∴ ﹣2x=1,得2x²+x﹣1=0,

解得x₁=﹣1,x₂= ．

经检验：x₁=﹣1,x₂= 是原方程的解．

∴原方程的解为：x₁=﹣1,x₂= ．

点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0．同时考查了解分式方程,注意解分式方程一定注意要验根．

9．（2009•宁波）如图,点A,B在数轴上,它们所对应的数分别是﹣4, ,且点A、B到原点的距离相等,求x的值．

考点：解分式方程；绝对值.

专题：图表型.

分析：A到原点的距离为|﹣4|=4,那么B到原点的距离为4,就可以转换为分式方程求解．

由题意得, =|﹣4|,

解得 ,

经检验 是原方程的解,

∴x的值为 ．

点评：（1）到原点的距离实际是绝对值．正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数；

（2）解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解．

10．（2010•钦州）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召,组织团员植树300棵．实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍,这样,实际人均植树棵数比原计划的少2棵,求原计划参加植树的团员有多少人?

考点：分式方程的应用.

专题：应用题.

分析：设原计划参加植树的团员有x人,则实际参加植树的团员有1.5x人,人均植树棵树= ,用原人均植树棵树﹣实际人均植树棵树=2,列分式方程求解,结果要检验．

设原计划参加植树的团员有x人,

根据题意,得 ,

解这个方程,得x=50,

经检验,x=50是原方程的根,

答：原计划参加植树的团员有50人．

点评：找到合适的等量关系是解决问题的关键．利用分式方程解应用题时,一般题目中会有两个相等关系,这时要根据题目所要解决的问题,选择其中的一个相等关系作为列方程的依据,而另一个则用来设未知数．