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（x＜0）交于点A（-1，n）．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．

2019-04-10

（x＜0）交于点A（-1，n）．
（1）求直线与双曲线的解析式．
（2）连接OA，求∠OAB的正弦值．
（3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在求出D点的坐标，若不存在，请说明理由．
优质解答
（x＜0）得：m=5，
∴双曲线的解析式是：y=；

（2）过点O作OM⊥AC于点M，
∵B点经过y轴，
∴x=0，
∴0-4=y，
∴y=4，
∴B（0，-4），
AO==，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°==，
∴OM=2，
∴在△AOM中，
sin∠OAB==；

（3）存在；
过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，
则AN=1，BN=1，
则AB==，
∵OB=OC=4，
∴BC==4，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴=或=，
∴=或=，
∴CD=2或CD=16，
∴点D的坐标是（6，0）或（20，0）． （x＜0）得：m=5，
∴双曲线的解析式是：y=；

（2）过点O作OM⊥AC于点M，
∵B点经过y轴，
∴x=0，
∴0-4=y，
∴y=4，
∴B（0，-4），
AO==，
∵OC=OB=4，
∴△OCB是等腰三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∴在△OMB中 sin45°==，
∴OM=2，
∴在△AOM中，
sin∠OAB==；

（3）存在；
过点A作AN⊥y轴，垂足为点N，
则AN=1，BN=1，
则AB==，
∵OB=OC=4，
∴BC==4，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠OBA=∠BCD=135°，
∴△OBA∽△BCD或△OBA∽△DCB，
∴=或=，
∴=或=，
∴CD=2或CD=16，
∴点D的坐标是（6，0）或（20，0）．
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