优质解答
第5期二版参考答案
12.3等腰三角形(1)
1．D. 2．C.
3．105°. 4． 75°.
5．设∠C＝α,则∠B＝∠CAD＝α,∠BDA＝∠BAD＝2α,于是α＋2α＋2α＝180°,解得α＝36°．故∠ADB＝72°.
6． 80°,50°,50°或50°,65°,65°或130°,25°,25°.
7．（1）∵DA= DC,∴∠A=∠ACD=30°,
∴∠CDB=60°．
∵DB=DC,∴∠B=∠DCB=60°,
∴∠ACB=90°；
（2）∠ACB=90°；
（3）不论∠A等于多少度（小于90°）,∠ACB总等于90°.
12.3等腰三角形(2)
1．C. 2．2cm. 3．3.
4．连接CD．∵AD＝BC,AC＝BD,DC＝CD．
∴△ADC≌△BCD．∴∠ACD＝∠BDC．
∴OD＝OC.
5．6.
6．证明：在DC上截取DE＝DB,连接AE．则AB＝AE,∴∠B＝∠AEB．∵∠B＝2∠C,∴∠AEB＝2∠C．
∵∠AEB＝∠C＋∠EAC,∴∠C＝∠EAC．
∴AE＝EC．∴DC＝DE＋EC＝BD＋AB.
12.3等腰三角形(3)
1．150m. 2．B. 3．D. 4． 120°.
5．（1）∵△ABC为等边三角形,
∴∠B＝∠ACB＝60°,BC＝AC.
又∵BE＝CD．
∴△BCE≌△CAD(SAS)．
∴CE＝AD．
（2）由（1）得∠ECB＝∠DAC．
∴∠APE＝∠DAC＋∠ECA＝∠ECB＋∠ECA＝∠ACB＝60°.
6．(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴CA＝CD,CE＝CB,∠ACD＝∠BCE＝60°．
于是∠DCE＝60°．∠ACE＝∠DCB＝120°．
∴△ACE≌△DCB(SAS). ∴AE＝DB.
(2)由第(1)问的结论得∠CAE＝∠CDB．
∵CA＝CD,∠ACG＝∠DCH＝60°．
∴△ACG≌△DCH(ASA)．
∴CG＝CH．而∠DCE＝60°．
∴△CGH是等边三角形.
12.3等腰三角形(4)
1．12. 2．6cm. 3. 30.
4．过点P作PC⊥OB于点C．
∵PE⊥OA,OP平分∠AOB,∴PE＝PC．
∵PD‖OA,∴∠OPD＝∠POA．
∵∠POB＝∠POA,∴∠OPD＝∠POB．∴PD＝OD．
∴∠PDC＝∠AOB＝30°.
又∵OD＝4cm,∠PCD＝90°,
∴PC＝ PD＝2 cm．∴PE＝PC＝2 cm.
5．(1)当∠BQP＝90°时,BQ＝ BP．
即t＝ (3－t),t＝1(s)；
(2)当∠BPQ＝90°时,BP＝ BQ．即3－t＝ t,t＝2(s)．
故当t＝1 s或t＝2 s时,△PBQ是直角三角形.
12．3测试题
基础巩固
1．C．2．B．3．B．4．C．5．B．
6．B．提示：设∠DCA＝α,则∠BCA＝∠A＝2α,在△DAC中,α＋2α＋120°＝180°,解得α＝20°．在△ABC中,∠B＝180°－4α＝100°．
7．480. 8．50°或80°. 9．15cm.
10．80．提示：△ABC≌△ADE．于是∠EAD＝∠CAB,∠EAC＝∠DAB．△ACE是等腰三角形．
11．在△ADE中,
∠DAE＝180°－(60°＋70°)＝50°．
∵CA＝CD,∠ADE＝60°,
∴∠DAC＝60°．∴∠EAC＝60°－50°＝10°．
∵BA＝BE,∠AED＝70°,
∴∠BAE＝70°．
∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝70°＋10°＝80°．
12．(1)∵BF＝CE,∴BC＝EF．
∵AB⊥BE,DE⊥BE,∴∠B＝∠E．
∵AB＝DE,∴△ABC≌△DEF.
(2)由第(1)问可知∠GFC＝∠GCF,∴GF＝GC．
13．证明：连接FA,
∵AB＝AC,∠A＝120°,∴∠B＝∠C＝30°．
∵EF垂直平分AC,∴FA＝FC.
于是∠FAC＝∠C＝30°,∠BAF＝90°．
在Rt△BAF中得,∵BF＝2FA．∴BF＝2CF．
14．证明：∵△ABC和△AQP都是等边三角形,∴∠BAC＝∠QAP＝60°．∴∠BAQ＝∠CAP．
∵AB＝AC,AQ＝AP,
∴△BAQ≌△CAP(SAS)．
∴∠ACP＝∠B＝60°＝∠BAC．∴AB‖PC．
15．过点D作DG‖AE交BC于点G．则∠DGB＝∠ACB．
∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠DGB．∴DB＝DG．
∵BD＝CE,∴DG＝CE．
∵∠FDG＝∠FEC,∠DFG＝∠EFC,
∴△FDG≌△FEC．∴DF＝EF．
能力提高
1．D．
2．C．提示：两条对角线的交点P0满足条件．以AB为边向正方形内作等边三角形P1AB,则P1也满足条件．同理可作出P2、P3、P4．因此,在正方形内共可找到5个满足条件的点P(注：在正方形外还可以找到4个满足条件的点P) ．
3．40°．提示：∠APQ＋∠AQP＝2(∠B＋∠C)＝2(180°－110°)＝140°．
4．①②③④．提示：连接AC,由SAS知△PCA≌△PCB,于是可知PC平分等腰三角形CAB的顶角,所以PC⊥AB．
5．过点A作AG⊥DE于点G,则
AG‖BC,∠FGA＝∠FEB,∠AFG＝∠BFE．
∵FA＝FB．∴△FAG≌△FBE．
∴FG＝FE＝3,AG＝BE＝4．
易知△CDE是等腰直角三角形,从而可知△AGD是等腰直角三角形,
∴DG＝AG＝4．∴DF＝DG＋FG＝4＋3＝7．
6．答：AB与AF,CF之间的等量关系是：AB＝AF＋CF．
证明：分别延长AE,DF相交于点M．则△EAB≌△EMC．
∴AB＝CM,∠BAE＝∠FMA．
∵∠BAE＝∠FAM,
∴∠FAM＝∠FMA．
∴AF＝FM．
∴AB＝CM＝CF＋FM＝CF＋AF．
第5期二版参考答案
12.3等腰三角形(1)
1．D. 2．C.
3．105°. 4． 75°.
5．设∠C＝α,则∠B＝∠CAD＝α,∠BDA＝∠BAD＝2α,于是α＋2α＋2α＝180°,解得α＝36°．故∠ADB＝72°.
6． 80°,50°,50°或50°,65°,65°或130°,25°,25°.
7．（1）∵DA= DC,∴∠A=∠ACD=30°,
∴∠CDB=60°．
∵DB=DC,∴∠B=∠DCB=60°,
∴∠ACB=90°；
（2）∠ACB=90°；
（3）不论∠A等于多少度（小于90°）,∠ACB总等于90°.
12.3等腰三角形(2)
1．C. 2．2cm. 3．3.
4．连接CD．∵AD＝BC,AC＝BD,DC＝CD．
∴△ADC≌△BCD．∴∠ACD＝∠BDC．
∴OD＝OC.
5．6.
6．证明：在DC上截取DE＝DB,连接AE．则AB＝AE,∴∠B＝∠AEB．∵∠B＝2∠C,∴∠AEB＝2∠C．
∵∠AEB＝∠C＋∠EAC,∴∠C＝∠EAC．
∴AE＝EC．∴DC＝DE＋EC＝BD＋AB.
12.3等腰三角形(3)
1．150m. 2．B. 3．D. 4． 120°.
5．（1）∵△ABC为等边三角形,
∴∠B＝∠ACB＝60°,BC＝AC.
又∵BE＝CD．
∴△BCE≌△CAD(SAS)．
∴CE＝AD．
（2）由（1）得∠ECB＝∠DAC．
∴∠APE＝∠DAC＋∠ECA＝∠ECB＋∠ECA＝∠ACB＝60°.
6．(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴CA＝CD,CE＝CB,∠ACD＝∠BCE＝60°．
于是∠DCE＝60°．∠ACE＝∠DCB＝120°．
∴△ACE≌△DCB(SAS). ∴AE＝DB.
(2)由第(1)问的结论得∠CAE＝∠CDB．
∵CA＝CD,∠ACG＝∠DCH＝60°．
∴△ACG≌△DCH(ASA)．
∴CG＝CH．而∠DCE＝60°．
∴△CGH是等边三角形.
12.3等腰三角形(4)
1．12. 2．6cm. 3. 30.
4．过点P作PC⊥OB于点C．
∵PE⊥OA,OP平分∠AOB,∴PE＝PC．
∵PD‖OA,∴∠OPD＝∠POA．
∵∠POB＝∠POA,∴∠OPD＝∠POB．∴PD＝OD．
∴∠PDC＝∠AOB＝30°.
又∵OD＝4cm,∠PCD＝90°,
∴PC＝ PD＝2 cm．∴PE＝PC＝2 cm.
5．(1)当∠BQP＝90°时,BQ＝ BP．
即t＝ (3－t),t＝1(s)；
(2)当∠BPQ＝90°时,BP＝ BQ．即3－t＝ t,t＝2(s)．
故当t＝1 s或t＝2 s时,△PBQ是直角三角形.
12．3测试题
基础巩固
1．C．2．B．3．B．4．C．5．B．
6．B．提示：设∠DCA＝α,则∠BCA＝∠A＝2α,在△DAC中,α＋2α＋120°＝180°,解得α＝20°．在△ABC中,∠B＝180°－4α＝100°．
7．480. 8．50°或80°. 9．15cm.
10．80．提示：△ABC≌△ADE．于是∠EAD＝∠CAB,∠EAC＝∠DAB．△ACE是等腰三角形．
11．在△ADE中,
∠DAE＝180°－(60°＋70°)＝50°．
∵CA＝CD,∠ADE＝60°,
∴∠DAC＝60°．∴∠EAC＝60°－50°＝10°．
∵BA＝BE,∠AED＝70°,
∴∠BAE＝70°．
∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝70°＋10°＝80°．
12．(1)∵BF＝CE,∴BC＝EF．
∵AB⊥BE,DE⊥BE,∴∠B＝∠E．
∵AB＝DE,∴△ABC≌△DEF.
(2)由第(1)问可知∠GFC＝∠GCF,∴GF＝GC．
13．证明：连接FA,
∵AB＝AC,∠A＝120°,∴∠B＝∠C＝30°．
∵EF垂直平分AC,∴FA＝FC.
于是∠FAC＝∠C＝30°,∠BAF＝90°．
在Rt△BAF中得,∵BF＝2FA．∴BF＝2CF．
14．证明：∵△ABC和△AQP都是等边三角形,∴∠BAC＝∠QAP＝60°．∴∠BAQ＝∠CAP．
∵AB＝AC,AQ＝AP,
∴△BAQ≌△CAP(SAS)．
∴∠ACP＝∠B＝60°＝∠BAC．∴AB‖PC．
15．过点D作DG‖AE交BC于点G．则∠DGB＝∠ACB．
∵AB＝AC,∴∠B＝∠ACB．
∴∠B＝∠DGB．∴DB＝DG．
∵BD＝CE,∴DG＝CE．
∵∠FDG＝∠FEC,∠DFG＝∠EFC,
∴△FDG≌△FEC．∴DF＝EF．
能力提高
1．D．
2．C．提示：两条对角线的交点P0满足条件．以AB为边向正方形内作等边三角形P1AB,则P1也满足条件．同理可作出P2、P3、P4．因此,在正方形内共可找到5个满足条件的点P(注：在正方形外还可以找到4个满足条件的点P) ．
3．40°．提示：∠APQ＋∠AQP＝2(∠B＋∠C)＝2(180°－110°)＝140°．
4．①②③④．提示：连接AC,由SAS知△PCA≌△PCB,于是可知PC平分等腰三角形CAB的顶角,所以PC⊥AB．
5．过点A作AG⊥DE于点G,则
AG‖BC,∠FGA＝∠FEB,∠AFG＝∠BFE．
∵FA＝FB．∴△FAG≌△FBE．
∴FG＝FE＝3,AG＝BE＝4．
易知△CDE是等腰直角三角形,从而可知△AGD是等腰直角三角形,
∴DG＝AG＝4．∴DF＝DG＋FG＝4＋3＝7．
6．答：AB与AF,CF之间的等量关系是：AB＝AF＋CF．
证明：分别延长AE,DF相交于点M．则△EAB≌△EMC．
∴AB＝CM,∠BAE＝∠FMA．
∵∠BAE＝∠FAM,
∴∠FAM＝∠FMA．
∴AF＝FM．
∴AB＝CM＝CF＋FM＝CF＋AF．