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中国自行研制，具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：（1）地球的平均密度是多少；（2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；（3）椭圆轨道远地点B距地面的高度．

2019-11-27

中国自行研制，具有完全自主知识产权的“神舟号”飞船，目前已经达到或优于国际第三代载人飞船技术，其发射过程简化如下：飞船在酒泉卫星发射中心发射，由长征运载火箭送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h1，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，如图所示，设飞船在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t，若已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R，求：
（1）地球的平均密度是多少；
（2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小；
（3）椭圆轨道远地点B距地面的高度．
优质解答
（1）根据质量、密度、体积间的关系可知，地球的质量为：M＝ρ•
4
3
πR3----①
在地球表面附近，万有引力与重力近似相等，有：mg＝G
Mm
R2
----②
由①②式联立解得：地球的平均密度ρ＝
3g
4πGR

（2）根据牛顿第二定律有：G
Mm
(R+h1)2
＝maA----③
由②③式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为：aA＝
gR2
(R+h1)2

（3）飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有：G
Mm
(R+h2)2
＝m
4π2
T2
(R+h2)----④
由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为：T＝
t
n
----⑤
由②④⑤式联立解得，椭圆轨道远地点B距地面的高度为：h2=
3
gR2t2
4n2π2
−R
答：（1）地球的平均密度是
3g
4πGR
；
（2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为
gR2
(R+h1)2
；
（3）椭圆轨道远地点B距地面的高度为
3
gR2t2
4n2π2
−R． （1）根据质量、密度、体积间的关系可知，地球的质量为：M＝ρ•
4
3
πR3----①
在地球表面附近，万有引力与重力近似相等，有：mg＝G
Mm
R2
----②
由①②式联立解得：地球的平均密度ρ＝
3g
4πGR

（2）根据牛顿第二定律有：G
Mm
(R+h1)2
＝maA----③
由②③式联立解得，飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为：aA＝
gR2
(R+h1)2

（3）飞船在预定圆轨道上飞行时由万有引力提供向心力，有：G
Mm
(R+h2)2
＝m
4π2
T2
(R+h2)----④
由题意可知，飞船在预定圆轨道上运行的周期为：T＝
t
n
----⑤
由②④⑤式联立解得，椭圆轨道远地点B距地面的高度为：h2=
3
gR2t2
4n2π2
−R
答：（1）地球的平均密度是
3g
4πGR
；
（2）飞船经过椭圆轨道近地点A时的加速度大小为
gR2
(R+h1)2
；
（3）椭圆轨道远地点B距地面的高度为
3
gR2t2
4n2π2
−R．
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