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德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=1,x∈Q0,x∈∁RQ被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,则关于函数有如下四个命题:①f(f(x))=0;②函数f(x)是偶函数;③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立;④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.其中的真命题是(  )A.①②④B.②③C.③④D.②③④

2019-03-31

德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=
1,x∈Q
0,x∈RQ
被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,则关于函数有如下四个命题:
①f(f(x))=0;
②函数f(x)是偶函数;
③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意的x∈R恒成立;
④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.
其中的真命题是(  )

A.①②④
B.②③
C.③④
D.②③④
优质解答
对于①,∵当x为有理数时,f(x)=1;当x为无理数时,f(x)=0,
∴当x为有理数时,f(f(x))=f(1)=1;当x为无理数时,f(f(x))=f(0)=1,
即不管x是有理数还是无理数,均有f(f(x))=1,故①错误;
对于②,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,
所以对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),故②正确;
对于③,若x是有理数,则x+T也是有理数; 若x是无理数,则x+T也是无理数,
∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,故③正确;
对于④,取x1=-
3
3
,x2=0,x3=
3
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,可得A(-
3
3
,0)、B(0,1)、C(
3
3
,0)三点恰好构成等边三角形,故④正确.
综上所述,真命题是②③④,
故选:D.
对于①,∵当x为有理数时,f(x)=1;当x为无理数时,f(x)=0,
∴当x为有理数时,f(f(x))=f(1)=1;当x为无理数时,f(f(x))=f(0)=1,
即不管x是有理数还是无理数,均有f(f(x))=1,故①错误;
对于②,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,
所以对任意x∈R,都有f(-x)=f(x),故②正确;
对于③,若x是有理数,则x+T也是有理数; 若x是无理数,则x+T也是无理数,
∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,故③正确;
对于④,取x1=-
3
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,x2=0,x3=
3
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,可得A(-
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,0)、B(0,1)、C(
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,0)三点恰好构成等边三角形,故④正确.
综上所述,真命题是②③④,
故选:D.
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