高中数学有关圆的知识点、公式、解题方法什么的、拜托了
2019-03-31
高中数学有关圆的知识点、公式、解题方法什么的、拜托了
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（一）圆的标准方程 1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。 2. 圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。 说明： （1）上式称为圆的标准方程。 （2）如果圆心在坐标原点，这时a＝0，b＝0，圆的方程就是x2+y2=r2。 （3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圆心为（a，b），半径为r。 （4）确定圆的条件 由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定．因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。 （5）点与圆的位置关系的判定 若点M（x1，y1）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2＞r2 ； 若点M（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2＜r2 ； （二）圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0① 将①配方得： ②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4 当时，方程①表示以（-D/2,-E/2）为圆心，以为半径的圆； 当时，方程①只有实数解，所以表示一个点（-D/2,-E/2）； 当时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形。 故当时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点： （1）和的系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项。 以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。 要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。 （三）直线和圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 研究直线与圆的位置关系有两种方法： （l）几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。 d>r直线与圆相离；d＝r直线与圆相切；0≤d<r直线与圆相交。 （2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为Δ。 △＜0直线与圆相离；△＝0直线与圆相切；△＞0直线与圆相交。 说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。 2. 圆的切线方程 （1）过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2 （2）过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ； （3）过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y+D·（x0+x）/2+E·(y0+y)/2+F=0 3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题 （1）判定位置关系。方法是比较d与r的大小。 （2）求切线方程。若已知切点M（x0，y0），则切线方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ； 若已知切线上一点N（x0，y0），则可设切线方程为y-y0=k(x-x0)，然后利用d＝r求k，但需注意k不存在的情况。 （3）关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 （四）圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下： 圆(x-a1)2+(y-b1)2=r12与圆（x-a2)2+(y-b2)2=r22的位置关系，其中r1＞0，r2＞0 设两圆的圆心距为d，则d=根号下(a1-a2)2+(b1-b2)2 当d＞r1+r2时，两圆外离； 当d=r1+r2时，两圆外切； 当|r1-r2|＜d＜|r1+r2|时，两圆相交； 当d=|r1+r2|时，两圆内切； 当0＜d＜|r1-r2|时，两圆内含 两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。
（一）圆的标准方程 1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。 2. 圆的标准方程：已知圆心为（a，b），半径为r，则圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。 说明： （1）上式称为圆的标准方程。 （2）如果圆心在坐标原点，这时a＝0，b＝0，圆的方程就是x2+y2=r2。 （3）圆的标准方程显示了圆心为（a，b），半径为r这一几何性质，即(x-a)2+(y-b)2=r2----圆心为（a，b），半径为r。 （4）确定圆的条件 由圆的标准方程知有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定．因此，确定圆的方程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定型条件。 （5）点与圆的位置关系的判定 若点M（x1，y1）在圆外，则点到圆心的距离大于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2＞r2 ； 若点M（x1，y1）在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2＜r2 ； （二）圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0① 将①配方得： ②(x+D/2)2+(y+E/2)2=D2+E2-4F/4 当时，方程①表示以（-D/2,-E/2）为圆心，以为半径的圆； 当时，方程①只有实数解，所以表示一个点（-D/2,-E/2）； 当时，方程①没有实数解，因此它不表示任何图形。 故当时，方程①表示一个圆，方程①叫做圆的一般方程。 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而一般方程突出了方程形式上的特点： （1）和的系数相同，且不等于0； （2）没有xy这样的二次项。 以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件。 要求出圆的一般方程，只要求出三个系数D、E、F就可以了。 （三）直线和圆的位置关系 1. 直线与圆的位置关系 研究直线与圆的位置关系有两种方法： （l）几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。 d>r直线与圆相离；d＝r直线与圆相切；0≤d<r直线与圆相交。 （2）代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一元二次方程，其判别式为Δ。 △＜0直线与圆相离；△＝0直线与圆相切；△＞0直线与圆相交。 说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不用代数法。 2. 圆的切线方程 （1）过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2 （2）过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ； （3）过圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0)上一点P(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y+D·（x0+x）/2+E·(y0+y)/2+F=0 3. 直线与圆的位置关系中的三个基本问题 （1）判定位置关系。方法是比较d与r的大小。 （2）求切线方程。若已知切点M（x0，y0），则切线方程为（x0-a）(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 ； 若已知切线上一点N（x0，y0），则可设切线方程为y-y0=k(x-x0)，然后利用d＝r求k，但需注意k不存在的情况。 （3）关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很少利用弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0 （四）圆与圆的位置关系 1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有二：第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的个数；第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。第一种方法因涉及两个二元二次方程组成的方程组，其解法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下： 圆(x-a1)2+(y-b1)2=r12与圆（x-a2)2+(y-b2)2=r22的位置关系，其中r1＞0，r2＞0 设两圆的圆心距为d，则d=根号下(a1-a2)2+(b1-b2)2 当d＞r1+r2时，两圆外离； 当d=r1+r2时，两圆外切； 当|r1-r2|＜d＜|r1+r2|时，两圆相交； 当d=|r1+r2|时，两圆内切； 当0＜d＜|r1-r2|时，两圆内含 两圆位置关系的问题同直线与圆的位置关系的问题一样，一般要转化为距离间题来解决。另外，我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几何性质的应用。