精选问答
已知关于x的两个一元二次方程：方程①：(1+k2)x2+(k+2)x−1＝0；   方程②：x2+（2k+1）x-2k-3=0．（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简1−4k+12(k+4)2；（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a-2）k+3a2+5a的值．

2019-04-13

已知关于x的两个一元二次方程：
方程①：(1+
k
2
)x2+(k+2)x−1＝0；   
方程②：x2+（2k+1）x-2k-3=0．
（1）若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；
（2）若方程①和②中只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根，并化简
1−
4k+12
(k+4)2
；
（3）若方程①和②有一个公共根a，求代数式（a2+4a-2）k+3a2+5a的值．
优质解答
（1）∵方程①有两个相等实数根，
∴1+
k
2
≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+
k
2
）×（-1）=0，则（k+2）（k+4）=0，解此方程得k1=-2，k2=-4，
而k+2≠0，
∴k=-4，
当k=-4时，方程②变形为：x2-7x+5=0．
解得  x1＝
7+
29
2
，x2＝
7−
29
2
•
（2）∵△2=（2k+1）2+4（2k+3）=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，
因此无论k为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
∴△1＜0，
∴（k+2）（k+4）＜0，
∴
1−
4k+12
(k+4)2
＝
(k+4)2−(4k+12)
(k+4)2
＝
(k+2)2
(k+4)2
＝
(
k+2 （1）∵方程①有两个相等实数根，
∴1+
k
2
≠0且△1=0，即（k+2）2-4（1+
k
2
）×（-1）=0，则（k+2）（k+4）=0，解此方程得k1=-2，k2=-4，
而k+2≠0，
∴k=-4，
当k=-4时，方程②变形为：x2-7x+5=0．
解得  x1＝
7+
29
2
，x2＝
7−
29
2
•
（2）∵△2=（2k+1）2+4（2k+3）=4k2+12k+13=（2k+3）2+4＞0，
因此无论k为何值时，方程②总有实数根，
∵方程①、②只有一个方程有实数根，
∴此时方程①没有实数根，
∴△1＜0，
∴（k+2）（k+4）＜0，
∴
1−
4k+12
(k+4)2
＝
(k+4)2−(4k+12)
(k+4)2
＝
(k+2)2
(k+4)2
＝
(
k+2
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