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南京市初一数学研究课
课题 探索直角三角形全等的条件
1． 通过操作与交流探索直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些简单的实际问题.
2． 培养学生动手操作能力,发展学生的推理能力.
重 点：直角三角形全等判定条件的探索和应用.
难 点：让学生了解逐步说理的基本方法,并能初步地进行说理.
【活动一】猜想生活中的直角三角形全等的条件
导入：舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道,这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
现有测量工具：量角器,卷尺.
你能帮他想个办法吗?
1． 议一议：可解决的方法：“ASA”、“AAS”与 “SAS”.
2． 想一想：如果工作人员只带了个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗?
【活动二】验证直角三角形全等的条件(HL)
1.运用直角三角板画一画,比一比;
方法一：（1）画一条斜边为5cm和一条直角边为3cm的两个直角三角形,剪下来和同座位同学比一比,它们是否重合?
（2）画一条斜边为10cm和一条直角边为6cm的两个直角三角形,剪下来和同座位同学比一比,它们是否重合?
2.运用尺规作图进一步验证
方法二：
已知：线段a、c（a＜c)和一个直角α,利用尺规作图.
求作：一个Rt△ABC,使∠C＝∠α,AB＝c,CB＝a
直角三角形全等的条件：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边,直角边”或“HL”
议一议：你能够用几种方法说明两个直角三角形全等?
直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS,还有直角三角形特殊的判定方法—HL.
【活动三】内化直角三角形全等方法的表示与判定
1.采用文字、图形、符号三种形式表示直角三角形全等的条件(HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边,直角边”或“HL”
∠C=∠E＝90°
AB=DF △ABC≌△DFE(HL)
AC=DE
练一练
⒈ 填空题
⑴两直角三角形两条直角边对应相等,这两个直角三角形全等,是根据两三角形全等的“ ”条件.
⑵两直角三角形斜边和一个锐角对应相等,这两个直角三角形全等,是根据两三角形全等“ ”条件.
⑶两直角三角形一个锐角和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等,是根据两个三角形全等的“ ”或“ ”条件.
⑷两直角三角形全等的特殊条件是 和 对应相等.
2.已知△ABC和△DFE,∠C＝∠E＝90°,AC＝DE,要得到△ABC≌△DFE,
可以添加一个条件 ；
或 ；
或 ；
或 .
3.如图,已知∠ACB=∠ADB=90,要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件?把增
加的条件填在横线上,并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由：
⑴___________( )
⑵___________( )
⑶___________( )
⑷___________( )
4.下列说法中正确的是（ ）
A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等.
B.有一个锐角和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
C.有两条边相等的两个直角三角形全等.
D.斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
5.如图（2）,AC＝DC,∠A,∠D是直角,将上述条件标注在图中,你能说明AB与DB相等吗?
【活动四】运用判定方法解决问题
1.如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面的两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由._
2.如图,已知一个角∠AOB,你能否只用一块三角板作出
∠AOB的角平分线?说出作法和理由.
作法：⑴ 在OA、OB上量得OM=ON；
⑵ 用三角板过M、N分别作OA、OB的垂线,相交于P点；
⑶ 作射线OP.
则OP就是∠AOB的平分线.
理由：因为,Rt△OMP≌ Rt△ONP (HL),所以,∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等).
3.把两块全等的直角三角形拼成如图的形状,其中两个三角形的对应直角边互相垂直,那么它们的斜边有什么位置关系呢?说出你的思考过程并与同伴交流.
4.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?
南京市初一数学研究课
课题 探索直角三角形全等的条件
1． 通过操作与交流探索直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些简单的实际问题.
2． 培养学生动手操作能力,发展学生的推理能力.
重 点：直角三角形全等判定条件的探索和应用.
难 点：让学生了解逐步说理的基本方法,并能初步地进行说理.
【活动一】猜想生活中的直角三角形全等的条件
导入：舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道,这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
现有测量工具：量角器,卷尺.
你能帮他想个办法吗?
1． 议一议：可解决的方法：“ASA”、“AAS”与 “SAS”.
2． 想一想：如果工作人员只带了个卷尺,能完成这个任务吗?
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗?
【活动二】验证直角三角形全等的条件(HL)
1.运用直角三角板画一画,比一比;
方法一：（1）画一条斜边为5cm和一条直角边为3cm的两个直角三角形,剪下来和同座位同学比一比,它们是否重合?
（2）画一条斜边为10cm和一条直角边为6cm的两个直角三角形,剪下来和同座位同学比一比,它们是否重合?
2.运用尺规作图进一步验证
方法二：
已知：线段a、c（a＜c)和一个直角α,利用尺规作图.
求作：一个Rt△ABC,使∠C＝∠α,AB＝c,CB＝a
直角三角形全等的条件：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边,直角边”或“HL”
议一议：你能够用几种方法说明两个直角三角形全等?
直角三角形是特殊的三角形,所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS,还有直角三角形特殊的判定方法—HL.
【活动三】内化直角三角形全等方法的表示与判定
1.采用文字、图形、符号三种形式表示直角三角形全等的条件(HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边,直角边”或“HL”
∠C=∠E＝90°
AB=DF △ABC≌△DFE(HL)
AC=DE
练一练
⒈ 填空题
⑴两直角三角形两条直角边对应相等,这两个直角三角形全等,是根据两三角形全等的“ ”条件.
⑵两直角三角形斜边和一个锐角对应相等,这两个直角三角形全等,是根据两三角形全等“ ”条件.
⑶两直角三角形一个锐角和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等,是根据两个三角形全等的“ ”或“ ”条件.
⑷两直角三角形全等的特殊条件是 和 对应相等.
2.已知△ABC和△DFE,∠C＝∠E＝90°,AC＝DE,要得到△ABC≌△DFE,
可以添加一个条件 ；
或 ；
或 ；
或 .
3.如图,已知∠ACB=∠ADB=90,要使△ABC≌△BAD还需增加一个什么条件?把增
加的条件填在横线上,并在后面相应括号内填上判定它们全等的理由：
⑴___________( )
⑵___________( )
⑶___________( )
⑷___________( )
4.下列说法中正确的是（ ）
A.有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等.
B.有一个锐角和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
C.有两条边相等的两个直角三角形全等.
D.斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
5.如图（2）,AC＝DC,∠A,∠D是直角,将上述条件标注在图中,你能说明AB与DB相等吗?
【活动四】运用判定方法解决问题
1.如图,两根长度为12米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面的两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明你的理由._
2.如图,已知一个角∠AOB,你能否只用一块三角板作出
∠AOB的角平分线?说出作法和理由.
作法：⑴ 在OA、OB上量得OM=ON；
⑵ 用三角板过M、N分别作OA、OB的垂线,相交于P点；
⑶ 作射线OP.
则OP就是∠AOB的平分线.
理由：因为,Rt△OMP≌ Rt△ONP (HL),所以,∠AOP=∠BOP(全等三角形对应角相等).
3.把两块全等的直角三角形拼成如图的形状,其中两个三角形的对应直角边互相垂直,那么它们的斜边有什么位置关系呢?说出你的思考过程并与同伴交流.
4.如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?