八年级数学课上，朱老师出示了如下框中的题目．小聪与同桌小明讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发•解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论•设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为
2019-04-21
八年级数学课上，朱老师出示了如下框中的题目．
小聪与同桌小明讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE______DB（填“＞”，“＜”或“=”）．
（2）特例启发•解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE______DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：
如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论•设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为3，AE=1，则CD=______（请你直接写出结果）．
优质解答
（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（3）因为AE=1，△ABC的边长为3，所以E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，
当点E在AB时，同（2）可知BD=AE=1，则CD=BC+BD=1+3=4，
当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
则∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又可判定△AEF为等边三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案为：2或4．
（1）如图1，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（2）如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠AFE=∠ACB=∠ABC=60°，△AEF为等边三角形，
∴∠EFC=∠EBD=120°，EF=AE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，∠ECB=∠FEC，
∴∠EDB=∠FEC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴BD=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=；
（3）因为AE=1，△ABC的边长为3，所以E点可能在线段AB上，也可能在BA的延长线上，
当点E在AB时，同（2）可知BD=AE=1，则CD=BC+BD=1+3=4，
当点E在BA的延长线上时，如图3，过点E作EF∥BC，交CA的延长线于点F，
则∠F=∠FCB=∠B=60°，
∠FEC+∠ECD=∠FEC+∠EDC=180°，
∴∠EDB=∠FEC，
且ED=EC，
在△BDE和△FEC中
∴△BDE≌△FEC（AAS），
∴EF=BD，
又可判定△AEF为等边三角形，
∴BD=EF=AE=1，
∴CD=BC-BD=3-1=2，
故答案为：2或4．