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第三次数学危机,发生在十九世纪末.当时英国数学家罗素把集合分成两种.
第一种集合：集合本身不是它的元素,即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A,例如一切集合所组成的集合.那么对于任何一个集合B,不是第一种集合就是第二种集合.
假设第一种集合的全体构成一个集合M,那么M属于第一种集合还是属于第二种集合.
如果M属于第一种集合,那么M应该是M的一个元素,即M∈M,但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合,出现矛盾.
如果M属于第二种集合,那么M应该是满足M∈M的关系,这样M又是属于第一种集合矛盾.
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论.由于严格的极限理论的建立,数学上的第一次第二次危机已经解决,但极限理论是以实数理论为基础的,而实数理论又是以集合论为基础的,现在集合论又出现了罗素悖论,因而形成了数学史上更大的危机.从此,数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论.首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统.即所谓ZF公理系统.这场数学危机到此缓和下来.数学危机给数学发展带来了新的动力.在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟.然而,矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现,而且今后仍然会这样.
第三次数学危机,发生在十九世纪末.当时英国数学家罗素把集合分成两种.
第一种集合：集合本身不是它的元素,即A A；第二种集合：集合本身是它的一个元素A∈A,例如一切集合所组成的集合.那么对于任何一个集合B,不是第一种集合就是第二种集合.
假设第一种集合的全体构成一个集合M,那么M属于第一种集合还是属于第二种集合.
如果M属于第一种集合,那么M应该是M的一个元素,即M∈M,但是满足M∈M关系的集合应属于第二种集合,出现矛盾.
如果M属于第二种集合,那么M应该是满足M∈M的关系,这样M又是属于第一种集合矛盾.
以上推理过程所形成的俘论叫罗素悖论.由于严格的极限理论的建立,数学上的第一次第二次危机已经解决,但极限理论是以实数理论为基础的,而实数理论又是以集合论为基础的,现在集合论又出现了罗素悖论,因而形成了数学史上更大的危机.从此,数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法,其中之一是把集合论建立在一组公理之上,以回避悖论.首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗,他提出七条公理,建立了一种不会产生悖论的集合论,又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进,形成了一个无矛盾的集合论公理系统.即所谓ZF公理系统.这场数学危机到此缓和下来.数学危机给数学发展带来了新的动力.在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟.然而,矛盾和人们意想不到的事仍然不断出现,而且今后仍然会这样.