数学
高一数学知识点总结

2019-05-27

高一数学知识点总结
优质解答
值域 :先考虑其定义域
  (1)观察法
  (2)配方法
  (3)代换法
  3.函数图象知识归纳
  (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) ,(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
  (2) 画法
  A、  描点法:
  B、  图象变换法
  常用变换方法有三种
  1) 平移变换
  2) 伸缩变换
  3) 对称变换
  4.区间的概念
  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
  (2)无穷区间
  (3)区间的数轴表示.
  5.映射
  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f(对应关系):A(原象) B(象)”
  对于映射f:A→B来说,则应满足:
  (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
  (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
  (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
  6.分段函数
  (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.
  (2)各部分的自变量的取值情况.
  (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
  补充:复合函数
  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数.
  二.函数的性质
  1.函数的单调性(局部性质)
  (1)增函数
  设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
  如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
  注意:函数的单调性是函数的局部性质;
  (2) 图象的特点
  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
  (3).函数单调区间与单调性的判定方法
  (A) 定义法:
  1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;
  2 作差f(x1)-f(x2);
  3 变形(通常是因式分解和配方);
  4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
  5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
  (B)图象法(从图象上看升降)
  (C)复合函数的单调性
  复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
  注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
  8.函数的奇偶性(整体性质)
  (1)偶函数
  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
  (2).奇函数
  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
  (3)具有奇偶性的函数的图象的特征
  偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
  利用定义判断函数奇偶性的步骤:
  1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
  2确定f(-x)与f(x)的关系;
  3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
  注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
  9、函数的解析表达式
  (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
  (2)求函数的解析式的主要方法有:
  1)  凑配法
  2) 待定系数法
  3) 换元法
  4) 消参法
  10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
  1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
  2 利用图象求函数的最大(小)值
  3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);  
值域 :先考虑其定义域
  (1)观察法
  (2)配方法
  (3)代换法
  3.函数图象知识归纳
  (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) ,(x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 .
  (2) 画法
  A、  描点法:
  B、  图象变换法
  常用变换方法有三种
  1) 平移变换
  2) 伸缩变换
  3) 对称变换
  4.区间的概念
  (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
  (2)无穷区间
  (3)区间的数轴表示.
  5.映射
  一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A到集合B的一个映射.记作“f(对应关系):A(原象) B(象)”
  对于映射f:A→B来说,则应满足:
  (1)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;
  (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;
  (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
  6.分段函数
  (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数.
  (2)各部分的自变量的取值情况.
  (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集.
  补充:复合函数
  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)  称为f、g的复合函数.
  二.函数的性质
  1.函数的单调性(局部性质)
  (1)增函数
  设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
  如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2 时,都有f(x1)>f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
  注意:函数的单调性是函数的局部性质;
  (2) 图象的特点
  如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
  (3).函数单调区间与单调性的判定方法
  (A) 定义法:
  1 任取x1,x2∈D,且x1<x2;
  2 作差f(x1)-f(x2);
  3 变形(通常是因式分解和配方);
  4 定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负);
  5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).
  (B)图象法(从图象上看升降)
  (C)复合函数的单调性
  复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
  注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
  8.函数的奇偶性(整体性质)
  (1)偶函数
  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.
  (2).奇函数
  一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
  (3)具有奇偶性的函数的图象的特征
  偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
  利用定义判断函数奇偶性的步骤:
  1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
  2确定f(-x)与f(x)的关系;
  3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
  注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
  9、函数的解析表达式
  (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
  (2)求函数的解析式的主要方法有:
  1)  凑配法
  2) 待定系数法
  3) 换元法
  4) 消参法
  10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
  1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
  2 利用图象求函数的最大(小)值
  3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);  
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