1. 数学家的故事:这是第一章的内容,讲述阿基米得(Archimedes, B.C. 287-212), 柏努力(Jakob Bernoulli, 1654-1705, Jakob I, Jacques I 或James 皆指同一人), 高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)等四人的得意杰作 及其墓碑上所刻的几何图形, 由此展开许多有趣数学之讨论.值得顺便 一提的是,物理学家波茨曼(Ludwig Boltzmann,1844-1902)的墓碑上刻 的是他的著名公式: s=klogW 其中S表熵(entropy),k为波茨曼常数,W表热力系统在给定宏观状态 下所包含的微观状态数. 再作一对照:物理定律的数目偏好3,例如克 卜勒三定律,牛顿三运动定律,热力学三定律; 而数学公理偏好5,例 如欧氏几何的五公理,皮亚诺(Peano)自然数的五公理.
2. 天文历算:这是第三章的内容.从科学史的眼光来看,天文学是数学与物
理学的故乡, 是数学问题与数学发现的丰富泉源.灿烂的星空,行星的
运行,季节的变换,除了让人感受到大自然的规律, 更激起人们无穷的
想像力与敬畏之情,於是展开无止境的求知探寻活动.阿草安排这一章,
有他的偏好, 也有他的远见.
3. 几何学与三角学:这是第二,五,六,七,八章的内容,包括有平面的,
立体的与球面的情形. 这部分从取材,观点,趣味,思考方法,到美的
欣赏,都有阿草独到的领略, 可以补足目前平淡无趣的高中数学.
4. 微积分:这是第四,九章的内容.大自然利用微积分在大地上行事,但是
要掌握微积分却不容易, 微积分变成大一新生最感头痛的一门课.阿草
在第九章短短的三十五页中, 就将微积分两千馀年的发展之来龙去脉简
洁地说清楚.因此,笔者建议年轻学子,若第一次要念微积分, 不妨由
第九章切入,精读,保证可以让你愉快地,直指本心地进入微积分的堂奥.
对於人生的「第一次」要非常慎重与珍惜.
5. 科学方法论:这是第十,十二,十四章的内容. 科学方法包括统计方法
与数学的各种猜测式推理(plausible reasoning). 后者例如,归纳法,分
析与综合法,类推法,试误法,推广,特殊化(或极端化), 量纲检验,
对称性观察,局部推理,大胆假设,小心求证,想像力, 等等.
前者大致又分成三个层次: 一,搜集资料,二,整理,比较与分析资料,
三,抛出假说,推出结论, 解释既知且预测未知.阿草选取黑龙(Heron)
公式(其实是阿基米得首创), 哥伦布发现美洲大陆,达尔文创立演化
论,孟德尔探索遗传定律等著名例子, 来说明科学方法的运用.这些都
是数学史,科学史与科学哲学研究的绝佳题材. 笔者特别喜欢第十二章,
关於黑龙公式的探索过程,从发现与证明, 到欣赏与方法论都齐备,讲
得实在太精彩了.
6. 混沌与碎形:这是第十一章的内容,是近年来新兴的一门学问,跟电脑的
关系密切. 为了赶上时代,阿草好学不倦,投入时间研读,再利用通俗
的话语介绍给读者.
7. 数学教育与解题:这是第十二,十三,十四章的内容. 解题训练是数学
教育的核心工作.哲学家叔本华说:
当一个人被某个问题所困,问题逐渐占据整个身心,如果他能够找到一
条解决的出路, 那麼他就成为一个哲学家.此地叔本华所说的问题是指
哲学上的大问题. 事实上,我们把「问题」改为「数学问题」,「哲学
家」改为「数学家」, 也行得通.准此以观,数学教育最要紧的是让学
生得到独立的解题经验, 从中锻鍊思想力与毅力.阿草举了许多例子,
实地作解题的「讲道说法」, 读者可先模仿,然后再找出最适合自己的
一条道路. 只有当一个人尝过独立解题的乐趣后,他才会喜欢数学,并
且终身难忘, 导致持久的追寻.
数学有趣吗 问十个中学生有九个半会跟你说不.除去对所有东西都不屑一
顾的人不谈,剩下来的多数学子应该还是可以成为挣取支持的对象.起码把那些
会掏$$买「混沌」的人加起来,也比纯粹本格派的人来得多.阿草牌葫芦膏药
所要卖的对象就是这些边缘份子.阿草从文化面,历史面出发,随著数学历史的
演进,由欧氏几何,历法计算到微积分,机率统计乃至於混沌碎形,最后万流归
宗,探讨数学工具使用的基本原则.其内容完全不脱高中程度的数学知识,然而
研读此书的感觉却又与课本,参考书大相迳庭.没有人会认为算课本参考书内的
众多例题类题会很有趣,但为什麼它们会无趣 因为它们把数学与人之间的链结
打断了,所以失去了人味,自然「人」就不会对这些内容感兴趣.这个链结,阿
草不但帮我们找回来,还将两者更紧密地结合在一起,使读者感到研读的主体不
只是数学,而是人类文明整体发展的另一种面向.
欧基里德说:「学几何学无帝王之路.」研究数学绝对不能用「看」的,也不
能用「读」的,要自己亲身推导计算过才算数.加上阿草在书中对於各个问题的
解法推衍大多只有一笔带过,并无详细流程;几何问题顶多秀张图,说明能力亦
极有限.因此,阿草可能会说:「学数学无天堂之路.」我相信阿草如此编写的
目的是要读者自行思索,亲自踩著先人的足迹前进,如此才能享受研究数学的乐
趣,才能真正吸收这些知识.本书最佳的适用对象正是求学中的青少年.让他们
在尚未完全对数理学科失去信心和兴趣之前,利用阿草的特效药来矫治最为有
效.对一般读者而言,「阿草的葫芦」也算得上是一本内涵与实用兼具的科普书
籍.最起码我们已经有了不同的选择.我们教科书的编纂方式若能像本书一样,
那些徘徊在数理殿堂门口的边缘人必定会迈开脚步,跨越门槛,一窥科学的奥
妙.阿草的葫芦里别有一番洞天,但这种乐趣得要自己亲身体验,别人是没办法
替你感受的. 1. 数学家的故事:这是第一章的内容,讲述阿基米得(Archimedes, B.C. 287-212), 柏努力(Jakob Bernoulli, 1654-1705, Jakob I, Jacques I 或James 皆指同一人), 高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)等四人的得意杰作 及其墓碑上所刻的几何图形, 由此展开许多有趣数学之讨论.值得顺便 一提的是,物理学家波茨曼(Ludwig Boltzmann,1844-1902)的墓碑上刻 的是他的著名公式: s=klogW 其中S表熵(entropy),k为波茨曼常数,W表热力系统在给定宏观状态 下所包含的微观状态数. 再作一对照:物理定律的数目偏好3,例如克 卜勒三定律,牛顿三运动定律,热力学三定律; 而数学公理偏好5,例 如欧氏几何的五公理,皮亚诺(Peano)自然数的五公理.
2. 天文历算:这是第三章的内容.从科学史的眼光来看,天文学是数学与物
理学的故乡, 是数学问题与数学发现的丰富泉源.灿烂的星空,行星的
运行,季节的变换,除了让人感受到大自然的规律, 更激起人们无穷的
想像力与敬畏之情,於是展开无止境的求知探寻活动.阿草安排这一章,
有他的偏好, 也有他的远见.
3. 几何学与三角学:这是第二,五,六,七,八章的内容,包括有平面的,
立体的与球面的情形. 这部分从取材,观点,趣味,思考方法,到美的
欣赏,都有阿草独到的领略, 可以补足目前平淡无趣的高中数学.
4. 微积分:这是第四,九章的内容.大自然利用微积分在大地上行事,但是
要掌握微积分却不容易, 微积分变成大一新生最感头痛的一门课.阿草
在第九章短短的三十五页中, 就将微积分两千馀年的发展之来龙去脉简
洁地说清楚.因此,笔者建议年轻学子,若第一次要念微积分, 不妨由
第九章切入,精读,保证可以让你愉快地,直指本心地进入微积分的堂奥.
对於人生的「第一次」要非常慎重与珍惜.
5. 科学方法论:这是第十,十二,十四章的内容. 科学方法包括统计方法
与数学的各种猜测式推理(plausible reasoning). 后者例如,归纳法,分
析与综合法,类推法,试误法,推广,特殊化(或极端化), 量纲检验,
对称性观察,局部推理,大胆假设,小心求证,想像力, 等等.
前者大致又分成三个层次: 一,搜集资料,二,整理,比较与分析资料,
三,抛出假说,推出结论, 解释既知且预测未知.阿草选取黑龙(Heron)
公式(其实是阿基米得首创), 哥伦布发现美洲大陆,达尔文创立演化
论,孟德尔探索遗传定律等著名例子, 来说明科学方法的运用.这些都
是数学史,科学史与科学哲学研究的绝佳题材. 笔者特别喜欢第十二章,
关於黑龙公式的探索过程,从发现与证明, 到欣赏与方法论都齐备,讲
得实在太精彩了.
6. 混沌与碎形:这是第十一章的内容,是近年来新兴的一门学问,跟电脑的
关系密切. 为了赶上时代,阿草好学不倦,投入时间研读,再利用通俗
的话语介绍给读者.
7. 数学教育与解题:这是第十二,十三,十四章的内容. 解题训练是数学
教育的核心工作.哲学家叔本华说:
当一个人被某个问题所困,问题逐渐占据整个身心,如果他能够找到一
条解决的出路, 那麼他就成为一个哲学家.此地叔本华所说的问题是指
哲学上的大问题. 事实上,我们把「问题」改为「数学问题」,「哲学
家」改为「数学家」, 也行得通.准此以观,数学教育最要紧的是让学
生得到独立的解题经验, 从中锻鍊思想力与毅力.阿草举了许多例子,
实地作解题的「讲道说法」, 读者可先模仿,然后再找出最适合自己的
一条道路. 只有当一个人尝过独立解题的乐趣后,他才会喜欢数学,并
且终身难忘, 导致持久的追寻.
数学有趣吗 问十个中学生有九个半会跟你说不.除去对所有东西都不屑一
顾的人不谈,剩下来的多数学子应该还是可以成为挣取支持的对象.起码把那些
会掏$$买「混沌」的人加起来,也比纯粹本格派的人来得多.阿草牌葫芦膏药
所要卖的对象就是这些边缘份子.阿草从文化面,历史面出发,随著数学历史的
演进,由欧氏几何,历法计算到微积分,机率统计乃至於混沌碎形,最后万流归
宗,探讨数学工具使用的基本原则.其内容完全不脱高中程度的数学知识,然而
研读此书的感觉却又与课本,参考书大相迳庭.没有人会认为算课本参考书内的
众多例题类题会很有趣,但为什麼它们会无趣 因为它们把数学与人之间的链结
打断了,所以失去了人味,自然「人」就不会对这些内容感兴趣.这个链结,阿
草不但帮我们找回来,还将两者更紧密地结合在一起,使读者感到研读的主体不
只是数学,而是人类文明整体发展的另一种面向.
欧基里德说:「学几何学无帝王之路.」研究数学绝对不能用「看」的,也不
能用「读」的,要自己亲身推导计算过才算数.加上阿草在书中对於各个问题的
解法推衍大多只有一笔带过,并无详细流程;几何问题顶多秀张图,说明能力亦
极有限.因此,阿草可能会说:「学数学无天堂之路.」我相信阿草如此编写的
目的是要读者自行思索,亲自踩著先人的足迹前进,如此才能享受研究数学的乐
趣,才能真正吸收这些知识.本书最佳的适用对象正是求学中的青少年.让他们
在尚未完全对数理学科失去信心和兴趣之前,利用阿草的特效药来矫治最为有
效.对一般读者而言,「阿草的葫芦」也算得上是一本内涵与实用兼具的科普书
籍.最起码我们已经有了不同的选择.我们教科书的编纂方式若能像本书一样,
那些徘徊在数理殿堂门口的边缘人必定会迈开脚步,跨越门槛,一窥科学的奥
妙.阿草的葫芦里别有一番洞天,但这种乐趣得要自己亲身体验,别人是没办法
替你感受的.